แสดงว่า $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$
แสดงว่า $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$, ที่ไหน $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$ คือกลุ่มของจำนวนเต็มโมดูโล $15$ ภายใต้การคูณ
นี่เป็นคำถามเกี่ยวกับ First Isomorphism Theorem แต่ฉันไม่รู้วิธีใช้กับผลิตภัณฑ์โดยตรง ฉันได้ตรวจสอบว่ากลุ่มเป็นวงจรหรือไม่และพยายามค้นหาฟังก์ชัน$f:\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z\to(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$แต่นั่นไม่ได้ทำให้ฉันไปไหน ถ้าเป็นไปได้คำใบ้จะช่วยได้
คำตอบ
เรามีเสมอ $$ (\Bbb Z/pq\Bbb Z)^{\times}\cong (\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\times (\Bbb Z/q\Bbb Z)^{\times}, $$ สำหรับช่วงเวลา $p$ และ $q$ โดย CRT (Chinese Remainder Theorem)
นอกจากนี้เรายังมี $(\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\cong \Bbb Z/(p-1)\Bbb Z$.
อ้างอิง:
$\mathbb Z_{mn}$ isomorphic ถึง $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ เมื่อใดก็ตาม $m$ และ $n$ เป็น coprime
เป็นข้อพิสูจน์ของฉันว่า $U_{pq}$ ไม่เป็นวงจรถ้า $p$ และ $q$ ราคาคี่ที่แตกต่างกันถูกต้องหรือไม่