แสดงว่าชุดไฟเป็นชุด
ฉันเจอผู้เขียนโจทย์ต่อไปนี้ต้องการให้ผู้อ่านพิสูจน์:
ข้อเสนอ 1 . สำหรับการตั้งค่าโดยพลการ$X$, $\{A \mid A \subseteq X\}$ เป็นชุด
ความพยายามของฉัน (ส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับคำแนะนำที่ผู้เขียนกำหนด):
ก่อนอื่นฉันจะกล่าวถึงสัจพจน์ของอำนาจที่นำเสนอในหนังสือ (ซึ่งดูเหมือนจะแตกต่างจากที่เขียนในบทความวิกิพีเดีย ):
เพาเวอร์ชุดความจริง ปล่อย$X$ และ $Y$เป็นชุด จากนั้นมีชุดที่แสดง$Y^{X}$ ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันทั้งหมดจาก $X$ ถึง $Y$ ดังนั้น
$$f \in Y^{X} \iff \text{(f is a function with domain $X$ and range Y)}$$
การใช้สัจพจน์ชุดกำลังและสัจพจน์ทดแทนเราสามารถสร้างชุดต่อไปนี้ได้
$$S = \{Z \mid Z = f^{-1}(\{1\}) \text{ for some } f \in \{0,1\}^X \}$$
ตอนนี้เราต้องแสดงให้เห็นโดยพลการ $A \in S$, $A \in S$ iff $A \subseteq X$
$(\rightarrow)$ เอาบ้าง $A \in S$ และรับบางส่วน $a \in A$. ตั้งแต่$A \in S$มีอยู่บ้าง $f: X \rightarrow Y$ ดังนั้น $f^{-1}(\{1\}) = A$. ตามความหมายของภาพย้อนหลังเราสามารถสรุปได้ว่า$a$ อยู่ในโดเมนของ $f$, นั่นคือ $a \in X$.
$(\leftarrow)$ ใช้ชุดย่อยของ $X$, พูด $A$. เราสามารถกำหนด$f: X \rightarrow Y$ ดังนั้น $f(x) = 1$ iff $x \in A$และ $f(x) = 0$มิฉะนั้น. เราเห็นว่า$f \in \{0,1\}^{X}$ และมันก็เป็นเรื่องจริง $A = f^{-1}(\{1\})$. ดังนั้น$A \in S$.
ดังนั้น $S = \{A \mid A \subseteq X\}$ซึ่งหมายความว่า $\{A \mid A \subseteq X\}$ เป็นชุด
$\blacksquare$
คำถามที่ 1.
ถูกต้องหรือไม่
คำถาม 2.
หากการพิสูจน์ข้างต้นถูกต้องมีทางเลือกอื่นที่รัดกุมกว่านี้หรือไม่? ก่อนที่ผู้เขียนจะเห็นคำแนะนำ (นั่นคือเราจำเป็นต้องใช้สัจพจน์ชุดกำลังและสัจพจน์ทดแทน) ฉันคิดว่าอาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้น่าจะเพียงพอ: "ชุดคือชุดของวัตถุ Subset คือวัตถุดังนั้นการรวบรวมชุดย่อยของ ชุดเฉพาะคือชุด "
คำตอบ
หลักฐานนี้ดูดีสำหรับฉัน เพียงไม่กี่ความคิดเห็นเกี่ยวกับเรื่องนี้:
- เว้นแต่จะได้รับการพิสูจน์แล้วจากที่อื่นในหนังสือที่คุณกำลังอ่านฉันจะเพิ่มเหตุผลว่าทำไมองค์ประกอบของ $S$ เป็นชุดดังนั้นบางอย่างเช่น $$f^{-1}(\{1\}) = \big\{ x \in X : f(x) = 1\big\}$$ เป็นชุดสำหรับแต่ละชุด $f \in \{0,1 \}^X$ โดยหลักการแบ่งแยก
- ใน $(\to)$ ทิศทางที่คุณต้องพิจารณาสองกรณีคือ $A = \varnothing$ และ $A \neq \varnothing$. ถ้า$A = \varnothing$แล้วก็เล็กน้อย $A \subseteq X$; มิฉะนั้นก็มี$a \in A$ (ตามที่คุณระบุ) และส่วนที่เหลือของการพิสูจน์ตามมา
ตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นประเด็นของการใช้พิธีการดังกล่าวเพื่อพิสูจน์ว่าสำหรับชุดใด ๆ $A$, $\mathcal P(A)$ยังเป็นชุด (แทนที่จะเถียงอย่างที่คุณคิดครั้งแรก) มาจากนักคณิตศาสตร์พยายามหลีกเลี่ยงการเข้าไปในตำแหน่งที่คอลเลกชันของชุดบางชุดมีขนาดใหญ่มากจนเกิดความขัดแย้งในระบบสัจพจน์ของคุณเช่นชุดที่ยกตัวอย่างในต้นเสียงและความขัดแย้งของ Burali-Forti