แสดงว่ามีอยู่จริง $x_0$ ดังนั้น $p(x_0) < q(x_0)$ สำหรับพหุนามที่กำหนด

Question

ถ้า $p(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ และ $q(x) = x^2+px+q$เป็นพหุนามสองค่าที่มีสัมประสิทธิ์จริง สมมติว่ามีช่วงเวลา$(r,s)$ ที่มีความยาวมากกว่า 2 ทั้งคู่ $p(x)$ และ $q(x)$ เป็นลบสำหรับ $x \in (r,s)$ และทั้งสองอย่างเป็นบวกสำหรับ $x<r$ หรือ $x>s$. แสดงว่ามีอยู่จริง$x_0$ ดังนั้น $p(x_0) < q(x_0)$

ตั้งแต่ $q(x)$ เป็นกำลังสองดังนั้น $r$ และ $s$ ต้องเป็นราก

แต่, $r$ และ $s$ ยังเป็นรากของ $p(x)$ ดังนั้น, $q(x)$ จะต้องมีปัจจัยของ $p(x)$ดังนั้น

$p(x) = q(x)g(x)$

ที่ไหน $g(x)$ยังเป็นกำลังสอง แต่เท่าที่ฉันจะได้รับ จะดำเนินการต่อจากที่นี่อย่างไร? คุณใช้ประโยชน์จากเงื่อนไขอย่างไร$s-r > 2$เหรอ?

ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชม

Answer 1

$r$ และ $s$ เป็นรากของทั้งสองอย่าง $p(x)$ และ $q(x)$ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นรากของ $p(x) - q(x)$.

$q(x) = (x-r)(x-s)$ ที่ไหน $|r - s| \gt 2$

$p(x) - q(x) = q(x)f(x)$

สมมติ $p(x) - q(x)$ จะไม่เป็นลบเสมอ แต่มีรากฐานมาจาก $r$ และ $s$จะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ $f(x)$ เป็นลบเมื่อใดก็ตาม $q(x)$ คือและ $f(x)$ เป็นบวกเมื่อใดก็ตาม $q(x)$ คือ.

นั่นหมายความว่ามันมีรากคู่ที่ $r$ และ $s$ กล่าวคือ $p(x) - q(x) = (x-r)^2(x-s)^2$

กล่าวคือ $p(x) - q(x) = q(x)^2$

กล่าวคือ $p(x) = q(x)(q(x)+1)$

กล่าวคือ $1+q(x) \gt 0$ เช่น $p(x)$ และ $q(x)$ มีเครื่องหมายเดียวกันเลย $x$.

กล่าวคือ $x^2-(r+s)x+(rs+1) \gt 0$

สิ่งนี้ไม่สามารถเป็นจริงได้เนื่องจากเป็นการเลือกปฏิบัติ $(r-s)^2 - 4 \gt 0$ตามที่ระบุในปัญหา จึงมีค่า x โดยที่$p(x) \lt q(x)$.

[หมายเหตุ: ฟังก์ชัน $ax^2+bx+c$ มีสองรากที่แท้จริงหากเลือกปฏิบัติ $b^2-4ac \gt 0$]