สำหรับจำนวนเต็มบวก $n\geq 2$ กับตัวหาร $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$, พิสูจน์ว่า $d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k<n^2$
IMO 2002 P4 Let $n\geq 2$ เป็นจำนวนเต็มบวกกับตัวหาร $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$. พิสูจน์ว่า$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ จะน้อยกว่าเสมอ $n^2$และกำหนดว่าเมื่อใดเป็นตัวหารของ $n^2$
ฉันกำลังลองใช้คำถามนี้ แต่ไม่มีความคิดใครช่วยให้คำใบ้หรือข้อเสนอแนะเล็กน้อยได้ไหม ได้โปรดโดยไม่ต้องให้ฉันแก้ปัญหา
ฉันพยายามใช้ความจริงที่ว่าผลิตภัณฑ์ของ $d_i$*$d_{i+1}$ เป็นตัวหารของ $n^2$ (และต่างกันทั้งหมด) และอาจลองใช้สูตรสำหรับผลรวมของตัวหารเพื่อดูว่าผลรวมเฉพาะนี้น้อยกว่าหรือไม่ $n^2$
คำตอบ
คำแนะนำ 1: กระป๋องใหญ่แค่ไหน $d_{k-1}$ เป็นหน้าที่ของ $n$เหรอ? เกี่ยวกับ$d_{k-2}$เหรอ?
คำแนะนำ 2: ให้ $p$ เป็นปัจจัยสำคัญที่เล็กที่สุดของ $n$. คุณสามารถพูดอะไรเกี่ยวกับ$d_{k-1}$ ในแง่ของ $n,p$เหรอ? อะไรคือตัวหารที่ใหญ่ที่สุด (เหมาะสม) ของ$n^2$เหรอ?
ตั้งแต่ $d$ เป็นตัวหารของ $n$ ถ้าและต่อเมื่อ $n/d$ คือเรามี $$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k=\left(\frac{n^2}{d_1d_2}+\frac{n^2}{d_2d_3}+\cdots+\frac{n^2}{d_{k-1}d_k}\right)\leq n^2\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)<\frac{n^2}{d_1}=n^2$$ $$\tag*{$\ left [\ text {ตั้งแต่ $\frac{1}{d_jd_{j+1}}\leq\left(\frac{d_{j+1}-d_j}{d_jd_{j+1}}\right)=\left(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{d_{j+1}}\right)$}\ขวา]$}$$
สำหรับส่วนที่สองให้ $n$ เป็นคอมโพสิตและ $p$ เป็นปัจจัยสำคัญที่เล็กที่สุดของ $n$. แล้วเรามี$$d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k>d_{k-1}d_k=\frac{n^2}{p}$$ ตอนนี้ถ้า $N=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k$ เป็นตัวหารของ $n$ เราต้องมี $\frac{n^2}{N}\mid n^2$. แต่$p>\frac{n^2}{N}$ เป็นความขัดแย้งตั้งแต่ $p$ เป็นตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุดของ $n^2$. ดังนั้น$N\mid n^2$ ถ้าและต่อเมื่อ $n$ เป็นนายก