สลายพหุนามสมมาตร $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ เป็นพหุนามสมมาตรเบื้องต้น
วิธีที่ฉันพยายามจะใช้เกี่ยวข้องกับอย่างใดอย่างหนึ่ง (ตัวอย่างเช่นเมื่อเลขชี้กำลังไม่เท่ากันทั้งหมด $\Sigma{x_1x_2^2}$) ดึงโมโนเมียลซ้ำ ๆ ด้วยเลขชี้กำลังที่เท่ากันได้มากที่สุด (ดังนั้นสำหรับตัวอย่างเลขชี้กำลังที่ไม่เท่ากันด้านบน $(\Sigma{x_1})(\Sigma{x_1x_2})$) หรือย้ายเลขชี้กำลังออกนอกผลรวมเมื่อเลขชี้กำลังทั้งหมดเท่ากันเช่นเดียวกับในชื่อคำถามนั่นคือสิ่งที่ฉันกำลังถามอยู่ดังนั้นขั้นตอนแรกที่นี่คือ $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ = $(\Sigma{x_1x_2x_3})^2$. เห็นได้ชัดว่านี่คือ$E_3^2$พร้อมกับคำที่ต้องลบออกโดยพิจารณาจากจำนวนตัวแปรที่เหมือนกันระหว่าง 2 $E_3$อยู่ใน $E_3^2$: 0, 1 หรือ 2 หากไม่มีเหมือนกันคุณสามารถใช้ไฟล์ $E_3$เพื่อกำหนดตัวเลือกของ 3 จากทั้งหมด 6 ตัวไม่ระบุดังนั้นเทอมนั้นก็คือ $2E_6$. ความคิดของฉันคือถ้า 1 ไม่แน่นอนเหมือนกันคุณจะได้นิพจน์ที่ต้องแยกย่อยออกไปอีกเช่น$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$ซึ่งจะคูณด้วย $E_2$. ในทำนองเดียวกันถ้า 2 indeterminates เหมือนกันคุณจะได้นิพจน์ที่ต้องแยกย่อยออกไปอีกเช่น$\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$ซึ่งจะคูณด้วย $E_1$. จนถึงตอนนี้ความพยายามของฉันในการแก้ปัญหานี้ดูเหมือนจะมุ่งไปที่คำตอบของหนังสือซึ่งก็คือ$E_3^2 + 2E_1E_5 - 2E_2E_4 -2E_6$. แต่ขั้นตอนต่อไปของฉันในการย่อยสลายต่อไป$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$ และ $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$ นำไปสู่คำศัพท์ที่ซับซ้อนมากขึ้นโดยไม่มีการยกเลิกที่ฉันเห็นว่านำไปสู่ชุดคำศัพท์ที่ง่ายกว่าที่เกี่ยวข้องกับเพียง $E_1E_5$, $E_2E_4$และ $E_6$ เพื่อลบออก $E_3^2$. นอกจากนี้หนังสือเล่มนี้กำลังเพิ่มไฟล์$E_1E_5$บอกว่ามีลำดับของการสลายตัวที่ฉันเข้าใจผิดอาจเกี่ยวข้องกับการยกเลิก ใครช่วยบอกหน่อยว่าฉันทำผิดตรงไหน?
คำตอบ
กุญแจสู่ข้อผิดพลาดของคุณคือแต่ละชุดของ $E_6$ ไม่ได้เกิดขึ้นเพียงสองครั้ง แต่เกิดขึ้นจริง ${6 \choose 3} = 20$ครั้ง. ในทางกลับกันให้ก$\sum x_1^2x_2x_3x_4x_5$ มีอยู่จริง ${4 \choose 2} = 6$ วิธีตั้งค่านิพจน์เดียวกันในขณะที่ $\sum x_1^2x_2^2x_3x_4$มีเพียงสองวิธีในการตั้งค่า นอกจากนี้โมโนเมียลใหม่ที่สร้างขึ้นก็ไม่ง่ายเหมือนตัวอย่างของคุณซึ่งมองเห็นได้ง่ายเนื่องจากนิพจน์ทั้งหมดควรเป็นระดับ 6
เพื่ออธิบายให้ระบุ monomial $abcdef$ ใน $E_6$คุณสามารถสร้างโมโนเมียลนี้ผ่าน $abc \cdot def$, $abd \cdot cef$ฯลฯ ทุกวิธีในการเลือก 3 องค์ประกอบจาก 6 ผลงาน ให้$abcde^2$ ใน $E_5E_1$คุณสามารถสร้างโมโนเมียลผ่าน $abe \cdot cde$, $ace \cdot bde$ฯลฯ ทุกวิธีในการเลือก 2 องค์ประกอบจาก 4 ผลงาน กระบวนการที่แน่นอนนี้ใช้เพื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ในการคำนวณด้านล่าง
เนื่องจากการคำนวณนี้เกิดข้อผิดพลาดได้ง่ายฉันจะทำการคำนวณทั้งหมดตั้งแต่ต้นจนจบจากนั้นคุณสามารถตรวจสอบผลลัพธ์ของคุณตามขั้นตอนเหล่านี้
สัญกรณ์: $S_n = E_n, P_{a, b, c, ...} = \sum \limits_{\text{sym}} x_1^ax_2^bx_3^c...$, ที่ไหน $S_n$ เป็นสัญกรณ์ทางเลือกสำหรับพหุนามสมมาตรเบื้องต้นและ $P_{a,b,c...}$ คือตัวย่อประเภท Muirhead
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2P_{2,2,1,1} - 6P_{2,1,1,1,1} - 20S_6$ (ผล 1)
$P_{2,2,1,1} = S_2S_4-4P_{2,1,1,1,1}-15S_6$ (ผล 2)
$P_{2,1,1,1,1} = S_1S_5-6S_6$ (ผล 3)
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2P_{2,1,1,1,1} +10S_6$ (โดยใช้ผลลัพธ์ 1 และ 2 -> ผลลัพธ์ 4)
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2S_1S_5 - 2S_6$ (โดยใช้ผลลัพธ์ที่ 4 และ 3 -> คำตอบ)
และเราทำเสร็จแล้ว ทั้งหมดนี้คือการทำงานและการคำนวณอย่างรอบคอบไม่มีอะไรบ้าบอ