สมการอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์ที่ไม่ใช่เชิงเส้น
ฉันกำลังพยายามแก้คำถามจากแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์ซึ่งไม่เคยทำเนื่องจากการระบาดของโรคดังนั้นฉันจึงไม่รู้คำตอบหรือวิธีการแก้ปัญหาที่เหมาะสม อย่างไรก็ตามนี่คือคำถามและความพยายามของฉันในการแก้ไข คำติชมคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการเข้าถึงและคำแนะนำการอ่านเพิ่มเติมจะได้รับการชื่นชมอย่างมาก
ให้สมการของการเคลื่อนที่เป็น: $$m\ddot{x}(t) + V'(x(t))= 0\tag1$$ และ, $$E = \frac{m}{2}\left(\dot{x}(t)\right)^2 + V(x(t))\tag2$$ ที่ไหน $V(x)$ เป็นศักยภาพที่เป็นที่รู้จักและ $E$ เป็นอิสระจาก $t$.
- โดยการรวมสมการให้ $\dot{x}$แสดงการแก้ปัญหาด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น $x(t_0)=x_0$ ในรูปของ t (x)
จากสมการ $(1)$ $$\dot{x}^2 = \frac{E-V}{m/2} \implies \pm\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx = t+Cste$$
การหารากที่เป็นบวกและจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่เรารู้ $Cste=-t_0$
$$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx+t_0$$ 2. ให้ศักยภาพที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเป็น: $$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$ ที่ไหน $C>0$ และ $a>0$. เราพิจารณาอนุภาคของความเร็วเริ่มต้น$v_0>0$. ให้พฤติกรรมที่ไม่แสดงอาการของ$x(t)$ เมื่อไหร่ $E>0$ และ $E=0$.
ฉันพยายามแทนที่นิพจน์ของ$V(x)$ ที่อินฟินิตี้ในอินทิกรัล: $$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E+\frac{C}{x^\left(2a\right)}}}dx+t_0$$ ฉันพยายามแปลงเป็นรูปแบบ $\arcsin(x)+c=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ โดยการแทนที่ แต่ฉันเห็นได้ชัดว่าเป็นไปไม่ได้บางทีฉันไม่ได้รับอนุญาตให้แทนที่นิพจน์โดยตรง $V(x)$ที่อินฟินิตี้
ฉันคิดว่ามีวิธีแก้คำถามนี้โดยไม่ต้องคำนวณอินทิกรัล แต่ดูเหมือนฉันจะหาไม่เจอ หวังว่าจะมีใครช่วยฉันได้บ้าง
คำตอบ
ฉันเชื่อว่าคุณตอบคำถามแรกถูกต้องอย่างไรก็ตามปัญหาของคำถามที่สองเกิดจากการที่คุณพยายามหาอนุพันธ์ซึ่งในความคิดของฉันเป็นเรื่องยากมาก นี่คือแนวทางของฉัน:
สมมติว่า x อยู่ใกล้อินฟินิตี้แล้วเรามี$$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$
ให้เราแทนที่สิ่งนี้ในสมการ $(1)$ และรวมเข้าด้วยกัน: $$\ddot{x}(t)=\frac{2aC}{m}x^\left(-2a-1\right)\\\implies\frac{x^\left(2a+3\right)}{2a(2a+2)(2a+3)}=\frac{C}{m}(t^2+C_1)$$ ดังนั้นเราจึงมี: $$x(t)=\frac{2aC}{m}(t^2+C_1)(2a+2)(2a+3)$$ เช่นกัน $$\dot{x}(t)=\frac{4aC(2a+2)(2a+3)}{m}t $$ ปล่อย $D=a(2a+2)(2a+3)$, $$\dot{x}(t)=\frac{4DaC}{m}t $$ แทนที่สิ่งนี้ในสมการ $(2)$ เนื่องจากเราต้องการแนะนำ $E$ ในการแก้ปัญหาเพื่อศึกษาพฤติกรรมที่ไม่แสดงอาการ:
$$E = \frac{(4DaC)^2}{m^2}t^2 - \frac{C}{x^\left(2a\right)}\\ \implies x = \frac{1}{\sqrt[2a]{\frac{16C(Da)^2}{m^2}t^2-\frac{E}{C}}}$$
นี่คือกราฟของ$y = \frac{1}{\sqrt[2a]{x^2-Z}}$ (ที่ไหน $a$ และ $Z$เป็นค่าคงที่) เพื่อให้คุณมีความคิดที่ดีขึ้น เล่นกับแถบเลื่อนเพื่อดูลักษณะการทำงานของฟังก์ชัน
เราสามารถดูได้จากกราฟว่า if$E=0$ อนุภาคที่ตำแหน่ง $x_1$ เริ่มใกล้เข้ามา $x=0$ซึ่งเราสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นจุดกำเนิดของศักยภาพต้องใช้เวลาไม่ จำกัด ในการไปถึงที่นั่น (สำหรับวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติส่วนใหญ่เราสามารถพิจารณาได้เมื่อหยุดทำงาน) และถ้า$E>0$ สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้น แต่ช่องว่างที่เพิ่มขึ้นแสดงว่าอนุภาคหยุดนิ่งก่อนที่จะถึงจุดกำเนิด