Spivak กับข้อความคำนวณที่ไม่ธรรมดา (Silverman, Lax, Sasane) สำหรับการแนะนำอย่างเข้มงวด

Question

เรื่องสั้นสั้น ๆ ฉันเป็นคนที่มีความปรารถนาทางฟิสิกส์อาจจะเป็นในเชิงทฤษฎีต้องการศึกษาเบื้องต้นหรือเข้าใกล้ความเข้มงวดของวิชาเอกคณิตศาสตร์ มักจะแนะนำ Spivak แต่ฉันสงสัยว่ามีใครมีประสบการณ์เกี่ยวกับหนังสือของ Lax, Silverman หรือ Sasane

ฉันออกจากระดับปริญญาตรีมาเกือบสิบปีแล้ว แต่ได้ตรวจสอบแล้วและรู้สึกสบายใจกับการคำนวณล่วงหน้า

ฉันไม่มีกำหนดเวลาและสามารถอุทิศเวลาให้กับหนังสือได้มากเท่าที่จำเป็น แต่ฉันต้องการออกเดินทางด้วยเท้าขวา หนังสือในอุดมคติของฉันถ้ามีอยู่:

1. ได้รับไปทำไม ฉันเกลียดการรู้วิธีทำสิ่งหนึ่งโดยไม่รู้ว่าทำไมมันถึงได้ผล ดังนั้นความเข้มงวด

2. ควรเป็นมิตรกับการศึกษาด้วยตนเองให้มากที่สุด ฉันไม่ควรพึ่งพาแหล่งข้อมูลภายนอกเพื่อทำความเข้าใจปัญหาในหนังสือ

3. ไม่แห้งเกินไป จะช่วยได้หากหนังสือมีความสวยงามและ / หรืออารมณ์ขัน

4. มีแอพพลิเคชั่นบางตัว สิ่งนี้ไม่สำคัญเลย แต่ฉันอยากให้มีความเกี่ยวข้องกับโลกแห่งความจริงเพื่อให้ฉันได้รับความบันเทิง ในทำนองเดียวกันฉันขอขอบคุณการใช้งานในอดีตและการให้เหตุผลตามบริบท

ความยาวของหนังสือเองก็ไม่สำคัญสำหรับฉัน ถ้ามีอะไรที่ชัดเจนกว่านี้น่าจะดีกว่า

Spivak ดูเหมือนจะเป็นคำแนะนำที่ไปสู่ ฉันเริ่มต้นมัน (ตอนที่ 2 ตอนนี้) และชอบมัน แต่หนังสือเรื่อง Calc บางเล่มที่ดึงดูดสายตาของฉันมากที่สุดคือหนังสือที่มีบทวิจารณ์หรือการแสดงผลเพียงเล็กน้อย ดังนั้นฉันหวังว่าผู้คนที่นี่อาจได้อ่านสิ่งเหล่านี้ / บางส่วนและเปรียบเทียบกับ spivak

-Calculus พร้อมแอพพลิเคชั่นโดย Lax and Terell (Second Edition, 2014): เน้นแอพพลิเคชั่นพร้อมหลักฐาน

- แคลคูลัสสมัยใหม่และเรขาคณิตวิเคราะห์โดย Silverman: มองแวบแรกดูดีมาก เป็นหนังสือเก่า ('69) แต่ดูเหมือนว่าจะเขียนได้ดีมากพร้อมคำอธิบายมากมายระหว่างการพิสูจน์

- วิธีและเหตุผลของแคลคูลัสตัวแปรเดียวโดย Sasane: ค่อนข้างคล้ายกับข้างต้น แต่ค่อนข้างเป็นหนังสือใหม่ (2015ish) ฉันชอบที่มันมีวิธีแก้ปัญหาอย่างเต็มที่สำหรับทุกปัญหา

มีโอกาสได้อ่านสิ่งเหล่านี้หรือไม่? หรือมีคำแนะนำอื่นที่ดีกว่า spivak หรือไม่? ฉันคิดว่าฉันจะโอเคไม่ว่าจะเลือกเล่มไหน แต่ก็ดีถ้าได้รับฟังความคิดเห็นจากผู้ที่มีประสบการณ์มากกว่า

Answer 1

ฉันแนะนำCalculusโดย Edwin E. Moise เป็นหนังสือแคลคูลัสเล่มแรกที่ฉันอ่านและฉันสนุกกับมันมาก

Answer 2

สิ่งที่ไม่ธรรมดาอย่างหนึ่งที่ฉันชอบ: " Freshman Calculus " โดย Bonic et al, Heath 1971

Answer 3

MAAได้ตรวจสอบหนังสือของคุณ 2/3 ยังไม่ได้ตรวจสอบSilverman

แคลคูลัสของ Lax พร้อมการใช้งาน

[บทวิจารณ์โดย Tushar Das เมื่อ 18 ธันวาคม 2557]

Peter Lax เป็นปรมาจารย์สมัยใหม่ เขาเขียนด้วยความมีชีวิตชีวา หนังสือเรียนของเขาเป็นแบบจำลองของความชัดเจนแม้ว่าจะห่างไกลจากตำรา Bourbakian ที่บริสุทธิ์ ฉันพบว่าสิ่งที่ฉันได้อ่านใกล้ชิดกับการถอดความของการบรรยายที่ยอดเยี่ยมและเร่าร้อนเต็มไปด้วยข้อมูลเชิงลึกที่นำผู้อ่านไปสู่จุดชมวิวจากที่ซึ่งใบหน้าที่คุ้นเคยของทฤษฎีบทเก่า ๆ ได้เห็นในแง่มุมใหม่

Lax ได้รับรางวัล Abel Prize ในปี 2005 และให้สัมภาษณ์ก่อนพิธีมอบรางวัลแก่ Messrs Raussen and Skau (R&S) ในออสโล ในระหว่างการรำลึกถึงชีวิตที่น่าสนใจและการมีส่วนร่วมทางคณิตศาสตร์อย่างเปิดเผย Lax ถูกถามเกี่ยวกับการโจมตีทางด้านการสอนของเขา เราอ้างคำตอบของเขาเกี่ยวกับความพยายามครั้งแรกของเขาในตำราแคลคูลัสแบบ“ หัวรุนแรง” ซึ่งเขียนร่วมกับ Samuel Burstein และ Anneli Lax: Calculus with applications and computing Vol 1 (นิวยอร์ก: Springer.1976 513 p. ISBN: 0387901795. )

R&S:คุณมีส่วนร่วมในการสอนแคลคูลัสด้วย ตัวอย่างเช่นคุณได้เขียนตำราแคลคูลัสโดยมี Anneli ภรรยาของคุณเป็นหนึ่งในผู้เขียนร่วม ในการเชื่อมต่อนี้คุณได้แสดงความคิดเห็นที่ชัดเจนเกี่ยวกับวิธีที่ควรเปิดเผยแคลคูลัสกับนักเรียนที่เพิ่งเริ่มเรียน คุณช่วยอธิบายให้ละเอียดได้ไหม
 
หละหลวม:หนังสือแคลคูลัสของเราไม่ประสบความสำเร็จอย่างมหาศาลแม้ว่าจะมีแนวคิดที่ยอดเยี่ยมมากมายก็ตาม สาเหตุส่วนหนึ่งคือวัสดุบางอย่างไม่ได้นำเสนอในรูปแบบที่นักเรียนสามารถดูดซับได้ หนังสือแคลคูลัสต้องได้รับการปรับแต่งอย่างละเอียดและฉันไม่อดทนกับมัน อันเนลีน่าจะมี แต่ฉันรังแกเธอมากเกินไปฉันกลัว บางครั้งฉันก็ฝันที่จะทำซ้ำเพราะความคิดที่อยู่ในนั้นและที่ฉันมีตั้งแต่นั้นมาก็ยังใช้ได้
 
แน่นอนว่ามีขบวนการปฏิรูปแคลคูลัสและมีหนังสือดีๆออกมาบ้าง แต่ฉันไม่คิดว่ามันคือคำตอบ ประการแรกหนังสือหนาเกินไปมักจะมากกว่า 1,000 หน้า ไม่ยุติธรรมที่จะนำหนังสือดังกล่าวไปไว้ในมือของนักเรียนที่ไม่สงสัยซึ่งแทบจะไม่สามารถพกติดตัวได้ และปฏิกิริยาต่อมันจะเป็น: "โอ้พระเจ้าของฉันฉันต้องเรียนรู้ทั้งหมดที่อยู่ในนั้นหรือ" สิ่งที่ไม่ได้อยู่ในนั้น! ประการที่สองถ้าคุณเปรียบเทียบกับมาตรฐานเดิมโทมัสบอกว่ามันไม่ได้แตกต่างกันมากนัก - อาจจะเรียงลำดับหัวข้อและแนวคิด
 
ตัวอย่างเช่นในหนังสือแคลคูลัสของฉันแทนที่จะใช้ความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่งฉันสนับสนุนความต่อเนื่องสม่ำเสมอ สิ่งนี้คุณสามารถอธิบายได้ง่ายกว่าการกำหนดความต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่งแล้วบอกว่าฟังก์ชันต่อเนื่องทุกจุด คุณเสียนักเรียน มีตัวระบุจำนวนมากเกินไปในนั้น แต่ชุมชนทางคณิตศาสตร์มีการอนุรักษ์นิยมอย่างมาก:“ ความต่อเนื่องได้รับการกำหนดอย่างตรงจุดและควรจะเป็น!”
 
สิ่งอื่น ๆ ที่ฉันจะเน้น: เพื่อให้แน่ใจว่ามีแอปพลิเคชันในหนังสือใหม่เหล่านี้ แต่แอปพลิเคชันทั้งหมดควรโดดเด่น ในหนังสือของฉันมีบทต่างๆที่เกี่ยวกับแอปพลิเคชันนั่นคือสิ่งที่ควรจะเป็น - ควรมีการนำเสนออย่างเด่นชัด ฉันมีความคิดอื่น ๆ เช่นกัน ฉันยังคงใฝ่ฝันที่จะทำหนังสือแคลคูลัสซ้ำและกำลังมองหาผู้ทำงานร่วมกันที่ดี เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้พบใครบางคนที่แสดงความชื่นชมต่อหนังสือต้นฉบับดังนั้นบางทีมันอาจจะรู้ได้ถ้าฉันมีพลังงาน ฉันมีสิ่งอื่นที่ต้องทำเช่นกันเช่นหนังสือพีชคณิตเชิงเส้นฉบับที่สองของฉันและกำลังแก้ไขเอกสารประกอบการบรรยายเก่า ๆ เกี่ยวกับสมการไฮเพอร์โบลิก แต่แม้ว่าฉันจะสามารถหาผู้ทำงานร่วมกันในหนังสือแคลคูลัสได้ แต่จะได้รับการยอมรับหรือไม่? ไม่ชัดเจน. ในปีพ. ศ. 2416 Dedekind ได้ตั้งคำถามสำคัญว่า“ จำนวนจริงคืออะไรและควรเป็นอย่างไร” น่าเสียดายที่เขาให้คำตอบผิดเท่าที่นักเรียนแคลคูลัสกังวล คำตอบที่ถูกต้องคือ: infinidecimals ไม่รู้ว่าเรื่องตลกดังกล่าวจะลงเอยอย่างไร

(M. Raussen and C. Skau, “ Interview with Peter D Lax,” Notices Amer. Math. Soc. (February 2006), 223–229.

หนังสือที่อยู่ระหว่างการตรวจสอบซึ่งมีความยาวกว่า 500 หน้าซึ่งเขียนร่วมกับ Maria Terrell เป็นเรื่องแรกที่บ่งบอกถึงความฝันของ Lax ที่เป็นจริงนั่นคือ "การแก้ไขอย่างละเอียด" ของ Lax-Burstein-Lax ในปี 1976 โทนสีโดยรวมของตำราแคลคูลัสตัวแปรเดียวนอกรีตนี้รวมถึงหัวข้อที่กล่าวถึงนี้ยังคงซื่อสัตย์ต่อฉบับก่อนหน้านี้ การเปลี่ยนแปลงมีความละเอียดอ่อนและแรงจูงใจของพวกเขาไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะมองเห็น ตัวอย่างเช่นการนำจำนวนจริงเป็นทศนิยมที่ไม่มีที่สิ้นสุดและการศึกษาพลวัตของประชากรผ่านสมการเชิงอนุพันธ์ยังคงอยู่ อย่างไรก็ตามความเป็นเอกภาพของความต่อเนื่องที่สม่ำเสมอ (ทั้งในฉบับปี 1976 และตามที่ Lax สนับสนุนในปี 2548) ได้ถูกแทนที่ด้วยแนวคิดดั้งเดิมของความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง การพลิกกลับในฉบับปี 2013 นี้อาจเป็นหนึ่งในไม่กี่แห่งที่ Lax ไม่สามารถยืนหยัดต่อสู้กับกระแสของประเพณีที่ไม่อาจต้านทานได้ สำหรับรสชาติของสไตล์นี่คือคำจำกัดความของ "ความต่อเนื่อง" จากเวอร์ชัน 1976:

[น. 64] …ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนดf (x) ได้หากความรู้โดยประมาณของ x เพียงพอสำหรับการกำหนดค่าโดยประมาณของ f (x) ความรู้โดยประมาณของ$x$ หมายความว่าเรารู้ทุกหลักของ x จนถึง $m$- ธ ; นี่ก็เหมือนกับการบอกว่าเรารู้ช่วงความยาว$10^{-m}$ ภายในโดเมนของ $f$ซึ่ง x อยู่ ถ้าค่าที่ f ใช้ในช่วงความยาวนี้$10^{-m}$ อยู่ในช่วงของความยาว $10^{-k}$ข้อมูลเกี่ยวกับ x เพียงพอสำหรับกำหนดตัวเลขทั้งหมดของ $f(x)$จนถึง k_-th._ คุณสมบัติของฟังก์ชัน f นี้สามารถแสดงเป็น
 
เกณฑ์ความต่อเนื่อง เพื่อให้$f(x)$ และ $f(y)$ ที่จะใกล้ขนาดนั้น

$|f(x) - f(y)| < 10^{-k},$ มันก็เพียงพอแล้วที่ x และ y จะใกล้กันมากขนาดนั้น

$|x-y| < 10^{-m}$. ทางเลือกของ m ขึ้นอยู่กับ k
 
ฟังก์ชัน f ที่มีคุณสมบัตินี้สำหรับ x [และ y] ในโดเมนของ f เรียกว่าต่อเนื่องตามช่วงเวลาของนิยาม

แน่นอนว่าความเป็นรูปธรรมดังกล่าวจะต้องมีประโยชน์ต่อความเข้าใจของแนวคิดที่ชัดเจนโดยสังหรณ์ใจ แต่ยากที่มีชื่อเสียงซึ่งแทบทุกคนที่เริ่มเรียนแคลคูลัสต้องดิ้นรน การเคลื่อนไหวทางการเรียนการสอนนี้นำไปสู่ทฤษฎีบางอย่างที่ไม่สามารถพบได้ในตำราแคลคูลัสแบบดั้งเดิมเช่นตอนนี้มี: ผลคูณของฟังก์ชันต่อเนื่องสองขอบเขตมีขอบเขตและต่อเนื่องกัน คนหนึ่งสงสัยว่าการเบี่ยงเบนจากประเพณีดังกล่าวอาจมีส่วนเกี่ยวข้องกับการละทิ้งคำแนะนำของ Lax ในฉบับปี 2013 หรือไม่

การรวมผังงานและรหัส FORTRAN สำหรับอัลกอริทึมต่าง ๆ ที่รุนแรง (สำหรับปี 1970) ได้ถูกลบออกไปด้วย นี่คือรายการกิจวัตรตามที่ปรากฏในตอนท้ายของสารบัญปี 1976:

โปรแกรม FORTRAN และคำแนะนำสำหรับการใช้งาน

• P1. วิธีการแบ่งส่วนสำหรับการหาศูนย์ของฟังก์ชัน
• P2. โปรแกรมเพื่อค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน unimodal
• P3. วิธีการของนิวตันในการหาศูนย์ของฟังก์ชัน
• P4. กฎของซิมป์สัน
• P5. การประเมินของ$\log x$ โดยการรวม
• P6. การประเมินของ$e^x$ โดยใช้ชุด Taylor
• P7. การประเมินของ$\sin x$ และ $\cos x$ โดยใช้ชุด Taylor

ผู้ตรวจสอบจำได้ว่ารู้สึกทึ่งกับส่วนเหล่านี้อย่างมากในการสัมผัสครั้งแรกในขณะที่ยังเป็นนักศึกษาระดับปริญญาตรีในช่วงต้นปี 2000 ฉบับปีพ. ศ. 2519 มีการพิสูจน์การแบ่งส่วนแบบ "รูปธรรม" ของทั้งทฤษฎีบทคุณค่าระดับกลาง (IVT) และทฤษฎีบทมูลค่าสูงสุด (EVT) ตามด้วยอัลกอริทึมสำหรับกรณีพิเศษ ได้แก่ เพื่อหาตำแหน่งรากและหาค่าสูงสุดสำหรับฟังก์ชัน unimodal (ดูรายการ P1 และ P2 ด้านบน) อย่างไรก็ตามหลักฐานการแบ่งส่วนของ IVT ซึ่งดูเหมือนจะสอดคล้องกับปรัชญาของผู้เขียนมากขึ้นได้ถูกลบออกในฉบับที่ใหม่กว่าด้วยเหตุผลที่ไม่ชัดเจนสำหรับผู้ตรวจสอบ คำนำหน้าใหม่มีหลักฐานเพียงเล็กน้อยที่จะรับประกันการยกเว้นดังกล่าว:

คำว่า "การคำนวณ" ถูกตัดออกจากชื่อเรื่องเนื่องจากในปัจจุบันตรงข้ามกับปี 1976 โดยทั่วไปมีการตกลงกันว่าการคำนวณเป็นส่วนหนึ่งของแคลคูลัสและเป็นความท้าทายที่น่าสนใจ สิ่งเหล่านี้แสดงอยู่ในข้อความนี้ใน Sects 4.4 [การประมาณอนุพันธ์], 5.3 [วิธีการของนิวตันในการหาศูนย์ของฟังก์ชัน] และ 10.4 [การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์] และโดยบททั้งหมด 8 [การประมาณปริพันธ์].

ส่วนเหล่านี้ของฉบับปี 2013 ยกเว้น Newton's Method จะได้รับการปฏิบัติอย่างเบามือและไม่ได้รับการรายงานในเชิงลึกเช่นเดียวกับฉบับปี 1976 เนื้อหาดังกล่าวจะช่วยปรับปรุงฉบับปี 2013 ได้อย่างแน่นอนโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีการขยายและเขียนใหม่ในรหัสเทียมแทนที่จะเป็น FORTRAN เหล่านี้ยังอาจปรากฏเป็นโครงการแนะนำในข้อความที่ผู้อ่านได้อย่างง่ายดายสามารถดำเนินการเกี่ยวกับความหลากหลายของซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์เปิดแหล่งที่มาเช่นใช้วิลเลียมสไตน์โครงการ Sage นอกจากนี้ผังงานดูเหมือนจะเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากในการดูกลไก / การออกแบบอัลกอริทึมและการพิสูจน์ที่สำคัญบางอย่าง ผู้ตรวจสอบนี้จะพยายามใช้เป็นเครื่องมือในการสอนเมื่อสอนแคลคูลัสตัวแปรเดียวหรือการวิเคราะห์เบื้องต้นในอนาคต

นอกจากคำวิพากษ์วิจารณ์และข้อเสนอแนะของฉันแล้วนี่เป็นข้อความที่ยอดเยี่ยมโดยสิ้นเชิง เต็มไปด้วยความคิดที่สวยงามที่อธิบายได้อย่างสวยงามและเต็มไปด้วยปัญหาที่จะทำให้ทั้งครูที่มีประสบการณ์และมือใหม่ที่อยากรู้อยากเห็น ขอแนะนำอย่างยิ่งและหวังว่าจะมีฉบับที่สามที่ดียิ่งขึ้นไปอีก! นอกจากนี้เรายังหวังว่า Lax จะพบผู้ทำงานร่วมกันที่ดีเพื่อช่วยให้เขาทำภาคต่อของเขาให้สำเร็จ (เล่มที่ 2 "อยู่ระหว่างเตรียมการ" ย้อนกลับไปในปี 1976) ซึ่งจะครอบคลุมแคลคูลัสหลายตัวแปรและบทนำสู่การวิเคราะห์$\mathbb{R}^n.$

---

Tushar Das เป็นผู้ช่วยศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยวิสคอนซิน - ลาครอสส์

Sasane's The How and Why of One Variable Calculus

[บทวิจารณ์โดย William J. Satzer เมื่อ 13/01/2559]

นี่ไม่ใช่หนังสือแคลคูลัสทั่วไป ชื่อเรื่องนี้เป็นเรื่องเล็กน้อยแม้ว่าการเน้นที่ "ทำไม" ควรมากกว่า "วิธีการ" ผู้เขียนกล่าวว่าหนังสือของเขามีไว้เพื่อเป็นตำราสำหรับแคลคูลัสเกียรตินิยมและคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลายมีพื้นฐานที่เพียงพอ เขาตั้งข้อสังเกตว่าหนังสือเล่มนี้อาจใช้เป็นหนังสืออ่านเสริมสำหรับหลักสูตรแคลคูลัสตามวิธีการปกติหรือเป็นข้อความสำหรับชั้นเรียนการเปลี่ยนแปลงสู่การวิเคราะห์

หนังสือเล่มนี้เริ่มต้นด้วยการปฏิบัติเพิ่มเติมเกี่ยวกับจำนวนจริง: สัจพจน์ของสนาม, สัจพจน์ของลำดับ, คุณสมบัติขอบเขตบนที่น้อยที่สุดและข้อมูลคร่าวๆของการตัดของ Dedekind ต่อไปนี้เป็นบทเกี่ยวกับลำดับความต่อเนื่องความแตกต่างการรวมและอนุกรม ทฤษฎีคลาสสิกทั้งหมดของแคลคูลัสพื้นฐานได้รับการระบุและพิสูจน์อย่างรอบคอบ วิธีการและเทคนิคปกติของแคลคูลัสไม่ได้ขาดเพียงแค่การแสดง

ก้าวเป็นไปอย่างตั้งใจ ผู้เขียนวางรากฐานของทฤษฎีบทอย่างรอบคอบด้วยตัวอย่างและแบบฝึกหัด หลักฐานชัดเจนและเต็มไปด้วยรายละเอียด ผู้เขียนบอกนักเรียนว่าพวกเขาไม่จำเป็นต้องเข้าใจทฤษฎีบทในการอ่านครั้งแรก เขาบอกพวกเขาว่าควรทบทวนตัวอย่างและแบบฝึกหัดที่ตามมาพยายามทำความเข้าใจว่าเหตุใดทฤษฎีบทจึงมีความสำคัญจากนั้นกลับไปศึกษาบทพิสูจน์

ผู้เขียนมีหลายหัวข้อที่มักไม่ปรากฏในหนังสือแคลคูลัส การปฏิบัติต่อจำนวนจริงเพิ่มเติมจะดีกว่าภาพรวมอย่างรวดเร็วตามปกติ ลำดับปรากฏในช่วงต้น บทที่เกี่ยวกับความต่อเนื่องจะกล่าวถึงวิธีที่ฟังก์ชันต่อเนื่องรักษาลำดับคอนเวอร์เจนต์และการเชื่อมต่อและเหตุใดการบรรจบกันที่สม่ำเสมอและความต่อเนื่องที่สม่ำเสมอจึงมีความสำคัญ ผลที่ตามมาประการหนึ่งคือต้องใช้เวลาประมาณ 125 หน้าในการไปยังอนุพันธ์ บทสรุปของอนุกรมมีเนื้อหาที่ซับซ้อนกว่าการรักษาขั้นพื้นฐานที่เคยปรากฏในช่วงปลายปีแรกของแคลคูลัส

ทั้งตัวอย่างและแบบฝึกหัดมีความยากและซับซ้อนหลากหลาย ตัวอย่างเช่นรวมเป็นข้อพิสูจน์อย่างละเอียดถี่ถ้วนว่าฟังก์ชันคงที่เป็นแบบต่อเนื่อง แต่ยังมีการรักษาเพิ่มเติมของชุดต้นเสียงและการพิสูจน์ว่าชุดต้นเสียงมี "ความยาว" เป็นศูนย์และฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของชุดต้นเสียงเป็นแบบบูรณาการของ Riemann .

แบบฝึกหัดมีมากมายคัดสรรมาอย่างดีและสร้างมาอย่างดี มีคำตอบโดยละเอียดสำหรับแบบฝึกหัดทั้งหมด พวกเขาเติม 150 หน้าสุดท้ายของหนังสือ ผู้เขียนเตือนนักเรียนให้หลีกเลี่ยงการแอบดูแนวทางแก้ไขจนกว่าพวกเขาจะพยายามแก้ไขอย่างจริงจัง ไม่ว่าจะเป็นเรื่องเพ้อฝันหรือไร้เดียงสาก็หมายความว่าผู้สอนอาจต้องจัดเตรียมแบบฝึกหัดแยกต่างหาก

คณิตศาสตร์น่ารักมากมายปรากฏขึ้นที่นี่โดยนำเสนอในรูปแบบที่พวกเราหลายคนคงชื่นชอบในฐานะนักเรียน มันทำให้ฉันสงสัยว่าส่วนเกริ่นนำสั้น ๆ ที่เรียกว่า“ ทำไมต้องเรียนแคลคูลัส” ส่วนใหญ่อ้างถึงแอพพลิเคชั่นสี่ตัวที่มีตั้งแต่น่าสนใจไปจนถึง ... ดี ... น่าเบื่อ นักเรียนที่สามารถใช้หนังสือเล่มนี้ควรได้รับแรงบันดาลใจจากคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม บางทีผู้เขียนอาจให้แอปพลิเคชั่นที่น่าสนใจบางอย่างด้วย

---

Bill Satzer ([email protected]) is a senior intellectual property scientist at 3M Company, having previously been a lab manager at 3M for composites and electromagnetic materials. His training is in dynamical systems and particularly celestial mechanics; his current interests are broadly in applied mathematics and the teaching of mathematics.