สถานะของลำดับอนันต์แรก $\omega$ ภายในการวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐาน?
ด้วยเวลาว่างที่เพิ่งค้นพบในช่วงการระบาดของโรคฉันได้ศึกษาการวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐาน ฉันไม่ชอบอัลตร้าฟิลเตอร์มากนักดังนั้นฉันจึงหันไปสนใจทฤษฎีเซตภายในของเนลสันและทฤษฎีเซต Hrbacek แม้ว่าฉันจะชอบอย่างหลัง แต่ฉันก็มีประสบการณ์กับงานของเนลสันมากกว่าดังนั้นฉันจะพูดถึงสิ่งต่างๆในแง่ของ IST
ฉันมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเลขลำดับในทฤษฎีเซตซึ่ง $\omega$เป็นครั้งแรก ฉันต้องการทราบว่าชุดนี้เหมาะกับ IST ตรงไหน มันเป็นเพียงตัวเลขไฮเปอร์ฟินิทมาตรฐานหรือไม่? โดยสัญชาตญาณความจริงที่ว่า$\omega > n$ สำหรับตัวเลขธรรมชาติทุกตัว $n$ทำให้ฉันคิดว่า $\omega$ อาจเป็นสมาชิกของ ${}^*\mathbb{N}$เนื่องจากนี่คือคุณสมบัติที่กำหนดของจำนวนธรรมชาติเหล่านี้ ฉันพบบทความ ( Taras Kudryk et al., 2004 ) ที่กล่าวถึงจำนวนเต็มไฮเปอร์ฟินิทมาตรฐานที่พิสูจน์แล้วใน Proposition 2.1 ว่า:
มี $\mathbf{standard}$ R-infinite [คือใน ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$] หมายเลขเหนือธรรมชาติ
ตามที่ฉันเข้าใจทุกชุดที่กำหนดโดยไม่ซ้ำกันใน ZFC โดยไม่มีการอ้างอิงถึงเพรดิเคตมาตรฐานเป็นมาตรฐาน ดังนั้นลำดับแรกที่เปลี่ยนไป$\omega$เป็นชุดมาตรฐาน ด้วยเหตุนี้ฉันจึงหวังที่จะพิสูจน์ว่า$\omega\in{}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$. อย่างไรก็ตามในเวลาเดียวกันฉันจำได้ว่าไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ไม่มีที่สิ้นสุดอย่างน้อยที่สุด สิ่งนี้ดูเหมือนจะขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า$\omega$ เป็นเลขลำดับน้อยที่สุด
ณ จุดนี้ฉันอาจขาดประสบการณ์เกี่ยวกับทฤษฎีเซต มองไปที่คำถามเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่าง$\omega$ และ $\mathbb{N}$ทำให้ฉันรู้ว่าฉันอาจจะอยู่เหนือหัวของฉันที่นี่ ฉันขอคำชี้แจงจากผู้ที่มีประสบการณ์มากกว่าเกี่ยวกับทฤษฎีเซตและส่วนขยายที่ไม่เป็นมาตรฐานได้ไหม ที่ไหน$\omega$ (และตัวเลขลำดับโดยทั่วไป) พอดีกับ IST?
คำตอบ
ลำดับที่เล็กที่สุดของ Transfinite von Neumann $\omega$ และองค์ประกอบของ ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$เป็นวัตถุประเภทต่างๆโดยสิ้นเชิง ถาม "ไม่$\omega$ เป็นของชุด ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$? "ไม่สมเหตุสมผลเท่าไหร่ก็ถามเหมือนกัน" กลุ่ม $S_3$ มีชุด $\mathbb{R}$ เป็นองค์ประกอบ?” ไม่สมเหตุสมผลเท่าไหร่
ฉันสามารถจัดสถานการณ์ที่คำตอบของคำถามหลังคือใช่ในทางเทคนิค เช่นการกำหนดกลุ่ม$S_3$ เป็นกลุ่มที่มีชุดพื้นฐาน $S_3 = \{A,B,C,D,E,\mathbb{R}\}$ และด้วยสูตรคูณ
S_3 ℝ A B C D E
--+------------------------
ℝ | ℝ A B C D E
A | A B ℝ D E C
B | B ℝ A E C D
C | C E D ℝ B A
D | D C E A ℝ B
E | E D C B A ℝ
เราไม่ได้มีเพียงแค่นั้น $\mathbb{R} \in S_3$แต่ก็เช่นกัน $\mathbb{R}$ เป็นองค์ประกอบประจำตัวของ $S_3$. แน่นอนว่านี่เป็นเทคนิคที่ไม่มีความหมายและไม่ควรเข้าใจผิดว่าเป็นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างกลุ่ม$S_3$ และจำนวนจริง $\mathbb{R}$.
ขึ้นอยู่กับการก่อสร้างส่วนขยายของคุณ ${}^*\mathbb{N}$คุณสามารถจัดทำในทำนองเดียวกัน $\omega \in {}^*\mathbb{N} \setminus \mathbb{N}$ ถือไว้ แต่นั่นไม่ได้สอนอะไรคุณเกี่ยวกับลำดับ: คุณสามารถจัดเรียงเช่น $\mathbb{R} \in {}^*\mathbb{N}$ ในลักษณะเดียวกัน
ด้วยวิธีนี้มีวิธีทางคณิตศาสตร์ตามธรรมชาติที่ลำดับ $\omega$สอดคล้องกับจำนวนธรรมชาติที่ไม่ได้มาตรฐานคงที่? คำตอบสำหรับคำถามนั้นคือไม่และยังคงไม่ใช่แม้ว่าเราจะแทนที่ "จำนวนธรรมชาติที่ไม่เป็นมาตรฐานคงที่" ด้วย "องค์ประกอบมาตรฐานคงที่ของ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$ ที่ไหน ${}^*\mathbb{N}$ หมายถึง hyperextension มาตรฐานบางส่วนของ $\mathbb{N}$"(อันที่จริงฉันขอแนะนำให้หลีกเลี่ยงแนวคิด IST และ Robinsonian NSA แบบผสมเหล่านี้จนกว่าคุณจะคุ้นเคยกับพิธีการทั้งสองมากขึ้น)
เช่นเดียวกับคำถามโดยนัยของคุณเกี่ยวกับการได้รับตัวเลขที่ไม่เป็นมาตรฐาน "คอนกรีต": คุณจะไม่สามารถตรึงตัวเลขที่ไม่เป็นมาตรฐานใด ๆ ที่เป็นรูปธรรมโดยใช้หลักการของ IST ได้ วิธีเดียวในการสร้างตัวเลขที่ไม่เป็นมาตรฐานคือการใช้ Idealization (หากคุณละเว้นหลักการ Idealization จาก IST ก็จะสอดคล้องกับระบบผลลัพธ์ที่ว่าวัตถุทั้งหมดเป็นมาตรฐาน) และสามารถสร้างแบบจำลองของ IST โดยที่ข้อกำหนดทุกอย่างโดย Idealization (โดยพื้นฐานแล้วทุกรายการที่ไม่ใช่ - 1-type ที่แยกได้) รับรู้โดยองค์ประกอบที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองแบบของแบบจำลอง