SVD: เหตุใดเมทริกซ์เอกพจน์ด้านขวาจึงเขียนเป็นทรานสโพส

Aug 18 2020

SVD มักจะเขียนเป็น

A = U Σ V_Transpose

คำถามคือเหตุใดเมทริกซ์เอกพจน์ที่ถูกต้องจึงเขียนเป็น V_Transpose?

ฉันหมายถึงสมมติว่า W = V_Transpose

แล้วเขียน SVD เป็น A = U Σ W

เครดิตรูปภาพ SVD: https://youtu.be/P5mlg91as1c

ขอขอบคุณ

คำตอบ

4 usεr11852 Aug 18 2020 at 20:37

$V^T$ คือฤๅษีทรานสโพส (คอนจูเกตทรานสโพสที่ซับซ้อน) ของ $V$.

$V$ ตัวมันเองถือเวกเตอร์เอกพจน์ขวาของ $A$ นั่นคือตัวระบุลักษณะเฉพาะ (orthonormal) ของ $A^TA$; ในระดับนั้น:$A^TA = VS^2V^T$. ถ้าเราเขียน$W = V^T$แล้ว $W$ จะไม่เป็นตัวแทนของ eigenvectors ของ $A^TA$. นอกจากนี้การกำหนด SVD เป็น:$A = USV^T$ ช่วยให้เราใช้งานได้โดยตรง $U$ และ $V$ เพื่อทแยงมุมเมทริกซ์ตามความหมายของ $Av_i = s_iu_i$สำหรับ $i\leq r$ ที่ไหน $r$ คืออันดับของ $A$ (กล่าวคือ $AV = US$). ในที่สุดก็ใช้$USV^T$ ยังช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณของเราในกรณีของเมทริกซ์สมมาตร $A$ ซึ่งในกรณีนี้ $U$ และ $V$ จะเกิดขึ้นพร้อมกัน (ขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย) และจะช่วยให้เราสามารถเชื่อมโยงการสลายตัวของเอกพจน์กับการสลายตัวของ eigen ได้โดยตรง $A = Q \Lambda Q^T$. เพื่อให้ชัดเจน: " ใช่การใช้$V^T$ แทน $W = V^T$เป็นเรื่องเล็กน้อย "แต่เป็นประโยชน์อย่างหนึ่ง

6 Michael Aug 18 2020 at 22:21

มันเขียนเป็นทรานสโพสด้วยเหตุผลเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้น

พิจารณาคดีอันดับหนึ่งที่ไม่สำคัญ $A = uv^T$, ที่ไหน $u$ และ $v$คือพูดเวกเตอร์หน่วย นิพจน์นี้บอกคุณว่าในการแปลงเชิงเส้น$A$ ใช้เวกเตอร์ $v$ ถึง $u$และส่วนเสริมมุมฉากของ $v$เป็นศูนย์ คุณสามารถดูว่าทรานสโพสแสดงเป็นธรรมชาติอย่างไร

นี่เป็นข้อมูลทั่วไปโดย SVD ซึ่งบอกคุณว่าการแปลงเชิงเส้นใด ๆเป็นผลรวมของแผนที่อันดับหนึ่งดังกล่าวและยิ่งไปกว่านั้นคุณสามารถจัดให้ summands เป็นมุมฉากได้ โดยเฉพาะการสลายตัว$$ A = U\Sigma V^T = \sum_{i = 1}^k \sigma_i u_i v_i^T $$ กล่าวว่าสำหรับการแปลงเชิงเส้นใด ๆ $A$ บน $\mathbb{R}^n$ สำหรับบางคน $n$ (โดยทั่วไปแล้วตัวดำเนินการขนาดกะทัดรัดใด ๆ บนพื้นที่ฮิลเบิร์ตที่แยกออกจากกันได้) คุณสามารถค้นหาชุดปกติได้ $\{v_i\}$ และ $\{u_i\}$ ดังนั้น

  1. $\{v_i\}$ ครอบคลุม $\ker(A)^{\perp}$.

  2. $A$ ใช้เวลา $v_i$ ถึง $\sigma_i u_i$, แต่ละ $i$.

กรณีพิเศษของสิ่งนี้คือการสลายตัวของสเปกตรัมสำหรับเมทริกซ์กึ่งไม่มีที่สิ้นสุดที่เป็นบวก $A$, ที่ไหน $U = V$ และ $u_i$เป็นตัวแทนเฉพาะของ $A$- summands $u_i u_i^T$คือการคาดการณ์มุมฉากอันดับหนึ่ง สำหรับ Hermitian$A$, $U$ "เกือบเท่ากับ" กับ $V$--- ถ้าค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันเป็นลบต้องใช้อย่างใดอย่างหนึ่ง $u_i = -v_i$ ดังนั้น $\sigma_i \geq 0$.

dariober Aug 19 2020 at 08:26

คำตอบของฉันโง่กว่าคนอื่น ๆ มาก ...

สมมติว่า W = V_Transpose

แล้วเขียน SVD เป็น A = U Σ W

ด้วยการที่คุณขอให้ผู้อ่านจดจำตัวแปรอีกหนึ่งตัว ($W$) แต่สำหรับนิพจน์ง่ายๆเช่น $V^T$ มันไม่คุ้มค่า IMO