ถ้า $A$ เป็น Noetherian ดังนั้นทุกอุดมคติที่เป็นเศษส่วนจะอยู่ในรูปแบบ $x^{-1} \frak{a}$ สำหรับอุดมคติบางอย่าง $\frak{a}$ ของ $A$

Question

[คำชี้แจง] ถ้า $A$ เป็น Noetherian ดังนั้นทุกอุดมคติที่เป็นเศษส่วนจะอยู่ในรูปแบบ $x^{-1} \frak{a}$ สำหรับอุดมคติบางอย่าง $\frak{a}$ ของ $A$, $x \in A$.

---

[พยายาม]

ฉันพบสิ่งนี้ใน Atiyah Macdonald Commutative algebra, บทที่ 9, หน้า 96, อุดมคติเศษส่วน

พวกเขาบอกว่าถ้า $A$ เป็น Noetherian ดังนั้นทุกอุดมคติที่เป็นเศษส่วนจะอยู่ในรูปแบบ $x^{-1} \frak{a}$ สำหรับอุดมคติบางอย่าง $\frak{a}$ ของ $A$, $x \in A$ ดังนั้นทุกอุดมคติที่เป็นเศษส่วนจะถูกสร้างขึ้นอย่างประณีต

มันก็โอเค "ดังนั้นอุดมคติที่เป็นเศษส่วนจึงถูกสร้างขึ้นอย่างแน่นอน" เพราะ $A$ Noetherian เหมาะอย่างยิ่ง $\frak{a}$ ถูกสร้างขึ้นอย่างประณีต

อย่างไรก็ตามจะแสดงข้อความข้างต้นอย่างไร?

ปล่อย $M$เป็นเศษส่วนในอุดมคติ ตามความหมายแล้วมี$\frac{b}{a} \in K:=\text{Frac}(A)$ ดังนั้น $\frac{a}{b} M \subseteq A $ดังนั้น $M \subseteq \frac{b}{a}A$.

ขั้นตอนต่อไปคืออะไร?

Answer 1

ปล่อย $\{m_i\}_{i\in I}$ สร้าง $M$ เป็น $A$-โมดูล. จากนั้นเป็น$m_i A\subseteq M\subseteq\frac{b}{a}A,$ เป็นไปตามนั้น $m_i\in\frac{b}{a}A.$ ดังนั้นสำหรับแต่ละ $i,$ เราอาจเขียน $$m_i = \frac{b_i}{a},$$ ด้วย $b_i\in A.$ ซึ่งหมายความว่า \begin{align*} M &= \sum_{i\in I} m_i A\\ &=\sum_{i\in I}\frac{b_i}{a}A\\ & = \frac{1}{a}\sum_{i\in I}b_i A. \end{align*} แต่ตอนนี้ $\sum_{i\in I}b_i A$ เป็นเพียงอุดมคติของ $A$ สร้างโดยไฟล์ $b_i,$ ดังนั้นเราจึงเสร็จสิ้น