ถ้า $ \bigtriangleup ABC$: $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$ด้วยความสูง $AD$ และค่ามัธยฐาน $AK$. พิสูจน์ $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC.$
ถ้า $\triangle ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมและ $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$ด้วยความสูง $AD$ และค่ามัธยฐาน $AK$; สมมติว่า$D$ อยู่ระหว่าง $B$ และ $K$.
- พิสูจน์ว่า $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC$.
- จากนั้นพิสูจน์ว่า $\angle BCA= \frac\pi 8$ ถ้า $|AD|=|DK|$.
- เอาเป็นว่า $$\sin\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2};\quad \cos\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2};\quad \operatorname{tg}\frac \pi 8= \sqrt 2 - 1$$
ฉันทำได้สำเร็จแล้ว แต่ฉันไม่รู้จะเริ่มยังไง
ฉันรู้แล้ว $\bigtriangleup DBA \sim \bigtriangleup DAC$
คำตอบ
พิจารณาการขลิบของ $\triangle ABC$. ตั้งแต่$\angle A=\frac{\pi}{2}$มันจะย่อยขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางดังนั้น $K$ คือเส้นรอบวงและ $$KA=KB=KC\tag{1}$$
- ตั้งแต่ $\triangle KCA$ คือหน้าจั่ว $\angle KCA=\angle KAC$.
ใน$\triangle ABD$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ดังนั้น $\angle BAD=\frac{\pi}{2}-\angle ABD$แต่ $\frac{\pi}{2}-\angle ABC=\angle ACB$ดังนั้น $\angle BAD=\angle ACB=\angle KAC$, QED. - ใน $\triangle ADK$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ดังนั้น $|AD|=|DK|$ $\Rightarrow$ $\angle A=\angle K=\frac{\pi-\angle D}{2}=\frac{\pi}{4}$.
ตั้งแต่$\frac{\pi}{4}=\angle AKD=\angle KAC+\angle KCA$ และ $\angle KAC=\angle KCA$ดังนั้น $\angle ACK=\frac{\pi}{8}$, QED. - ใน $\triangle ADC$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ และ $AK=KC=AD\sqrt{2}$ ดังนั้น $$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{AD}{DK+KC}=\frac{AD}{AD+AD\sqrt{2}}= \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,$$ ฟังก์ชั่นอื่น ๆ ของ $\frac{\pi}{8}$ ทำได้โดยใช้ $$\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\operatorname{tg}^2\theta,\quad \frac{1}{\sin^2\theta}=1+\operatorname{ctg}^2\theta.$$
ปล่อย $D$ วางอยู่ระหว่าง $K$ และ $B$.
ด้วยประการฉะนี้ $AK$ เป็นค่ามัธยฐานที่เราได้รับ $$AK=CK=KB,$$ ซึ่งจะช่วยให้ $$\measuredangle BAD=90^{\circ}-\measuredangle ABC=\measuredangle BCA=\measuredangle KAC.$$
เนื่องจากคุณได้คิดออกแล้ว $\triangle DBA \sim \triangle DAC$ใช้คุณสมบัติที่มุมที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันมีค่าเท่ากัน นอกจากนี้โปรดสังเกตว่า$AK=KC$ดังนั้น $\triangle KAC$ คือหน้าจั่ว
ถ้า $AD=DK$, เรามี $\angle DKA=\angle KAD=45°\implies\angle AKC=135°$. ด้วยประการฉะนี้$\triangle KAC$ เป็นหน้าจั่วเรามี $\angle BCA=22.5°=\frac{π}{8}$.
เรามี $AK=KC=\frac{a}{2}\implies AD=DK=\frac{a}{2\sqrt 2}$. ใน$\triangle ADC$, $$\tan\angle DCA=\tan\frac{π}{8}=\sqrt 2-1$$