ถ้าด้านบนเป็นสีดำโอกาสที่อีกด้านจะเป็นสีขาวจะเป็นอย่างไร?
คำถาม : หมวกประกอบด้วยไพ่จำนวนหนึ่งโดยมีสีขาว 30% ทั้งสองข้างสีดำ 50% ที่ด้านหนึ่งและสีขาวอีกด้านหนึ่งเป็นสีดำ 20% ทั้งสองด้าน ไพ่จะผสมกันจากนั้นไพ่ใบเดียวจะถูกสุ่มและวางลงบนโต๊ะ ถ้าด้านบนเป็นสีดำโอกาสที่อีกด้านจะเป็นสีขาวจะเป็นอย่างไร?
ความพยายามของฉัน : การใช้คำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเราได้$P(W|B)=\frac{P(W\cap B)}{P(B)}=0.5/0.7=5/7$
แต่คำตอบที่แท้จริงคือ 5/9 ฉันผิดพลาดตรงไหน?
คำตอบ
มันไม่ง่ายอย่างที่คิด
ความน่าจะเป็นที่ด้านบนของการ์ดที่เลือกจะเป็นสีดำไม่ใช่ $0.7$ และนี่คือเหตุผล:
มี $0.2$โอกาสที่เราจะเลือกไพ่ที่เป็นสีดำทั้งสองด้าน ง่ายพอ ... อย่างไรก็ตามเมื่อเรานำไฟล์$0.5$โอกาสไพ่ดำ / ขาวเราจำเป็นต้องคำนึงว่าจะหงายหน้าขึ้นด้านใด ดูเหมือนเป็นเรื่องธรรมดาที่จะสมมติว่าฝ่ายใดฝ่ายหนึ่งมีความน่าจะเป็นเท่ากัน มี$0.5^2$โอกาสที่การ์ดสีดำ / ขาวถูกเลือกและหงายด้านดำทำให้ความน่าจะเป็นทั้งหมดที่สีดำอยู่ด้านบนของการ์ดที่เลือกมา$0.2 + 0.5^2$
ตอนนี้ข้อเท็จจริงนี้ถูกนำมาเปิดเผยบางทีคุณอาจจะสามารถจบปัญหาได้จากที่นี่!
วิธีหนึ่งในการคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้คือการวิเคราะห์เหตุการณ์แทนที่จะเลือกการ์ด + การวางแนว ดังนั้นแทนที่จะมี 3 เหตุการณ์ (WW, BW, BB) เรามี 4 เหตุการณ์ (WW, BW, WB, BB)
แล้วความน่าจะเป็นคือ
WW: 30%
BW: 25%
WB: 25%
BB: 20%
เมื่อเราสุ่มการ์ดและวางในแนวสุ่มเราจะเห็นว่าด้านบนเป็นสีดำดังนั้นอาจเป็น BW หรือ BB ก็ได้ มีโอกาส 25% ที่ BW จะเกิดขึ้นและมีโอกาส 20% ที่ BB จะเกิดขึ้นดังนั้นเราจึงมี$\frac{25}{25+20} = \frac{5}{9}$.
ฉันคิดว่ามันไม่ได้เป็นการเลือกการ์ด แต่เป็นการเลือกข้าง (ของการ์ดบางใบ) ลองแกล้งทำเป็นว่าเรามี$100$การ์ด คุณจึงสุ่มเลือกหนึ่งในไฟล์$200$ด้านข้าง จากนั้นก็มี$50\cdot1+20\cdot2=90$สีดำด้าน ของเหล่านั้น$50$มาพร้อมกับสีขาวอีกด้าน ดังนั้น$\frac{50}{90} = \frac{5}{9}$ โอกาสสำหรับสีขาวด้านอื่น ๆ