ทำหน้าที่ $f$ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้?

Question

ฉันเห็นคำถามนี้เมื่อวานนี้ซึ่งขอให้แก้ไข$n$มีฟังก์ชันต่อเนื่องหรือไม่ $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ ดังนั้น $$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$คำตอบคือใช่และมีหลายวิธีในการสร้างคำตอบ (เช่นสามารถใช้พหุนาม interpolating หรือชุดของเส้นตรงก็ได้) ฉันสงสัยว่าถ้าพูดอย่างอื่นได้$n$ ไม่ได้รับการแก้ไขมีดังต่อไปนี้:

มีฟังก์ชันต่อเนื่องหรือไม่ $f: (0, 1) \to \mathbb{R}$ เช่นนั้นสำหรับทุกเหตุผล $k / n$ ในแง่ต่ำสุด $$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$

ถ้าเป็นเช่นนั้นสามารถสร้างได้ง่ายหรือไม่? และทำได้เนียนแค่ไหน$f$ในขณะที่ยังคงพอใจคุณสมบัติข้างต้น? (ฉันสงสัยว่าคำตอบคือมีความต่อเนื่องในการวิเคราะห์)

Answer 1

คำตอบคือไม่ พิจารณา$\alpha \in (0,1)$ จำนวนไม่ลงตัวใด ๆ และ $\frac{p_n}{q_n}$ ลำดับของเศษส่วนที่วัดไม่ได้ใด ๆ ที่มาบรรจบกัน

แล้ว $f(p_n/q_n) \rightarrow f(\alpha)$.

แต่มันง่ายที่จะเห็นว่า $q_n \rightarrow \infty$ และดังนั้นจึง $\binom{q_n}{p_n}^{-1} \leq q_n^{-1}$ ไปที่ศูนย์

ดังนั้น $f$ เป็นศูนย์สำหรับความไม่ลงตัวทั้งหมดดังนั้นจึงเป็นศูนย์เหมือนกันความขัดแย้ง

Answer 2

โปรดทราบว่า ${2n-1\choose n}\approx{2n\choose n}\approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ ดังนั้น $$\lim_{n\to\infty}f(\tfrac n{2n-1})=0\ne f(\tfrac12) $$