ทำ $M = \oplus_i M_i = \sum_j M'_j$ ด้วย $M_i, M'_j$ simples มีความหมาย $M_i \simeq M'_j$ สำหรับฉัน j
ปล่อย $M$ เป็น $R$-โมดูล. เราถือว่ามีสองครอบครัว$(M_i)_i$ และ $(M'_j)_j$ ของโมดูลย่อยอย่างง่ายของ $M$ ดังนั้น $$ M = \bigoplus_i M_i = \sum_j M'_j. $$ มีบ้างไหม $i,j$ ดังนั้น $M_i \simeq M'_j$เหรอ?
คำตอบ
เพื่อความสะดวกในการสัญกรณ์ฉันจะปล่อยให้ $I$ และ $J$ เป็นชุดดัชนีสำหรับ $M_i$ และ $M_j'$.
คำตอบคือสำหรับคำถามของคุณคือใช่และในความเป็นจริง $j\in J$ เราสามารถหาได้ $i\in I$ ด้วย $M_i\cong M_j'$. หากต้องการดูสิ่งนี้ให้$f:M_j'\hookrightarrow M$ เป็นแผนที่รวมและกำหนด $f_i=\pi_i\circ f$ สำหรับทุกๆ $i\in I$, ที่ไหน $\pi_i:M\to M_i$คือแผนที่ฉายภาพ เราไม่สามารถมีทุกๆ$f_i$ ศูนย์เหมือนกันหรืออื่น ๆ $f$ จะเป็นศูนย์เหมือนกันซึ่งขัดแย้งกับสิ่งนั้น $M_j'$เป็นเรื่องง่าย ดังนั้นจึงมีบางส่วน$i$ ด้วย $f_i$ไม่ใช่ศูนย์ แต่แผนผังที่ไม่เป็นศูนย์ระหว่างโมดูลง่ายๆคือไอโซมอร์ฟิซึมดังนั้น$f_i$ ในความเป็นจริงคือ isomorphism $M_j'\cong M_i$ตามต้องการ
ในความเป็นจริงคำสั่งที่คล้ายกันนี้มีไว้สำหรับ $I$ แทน $J$: สำหรับทุกๆ $i\in I$เราสามารถค้นหา $j$ ด้วย $M_i\cong M_j'$. สิ่งนี้ต่อจาก (การพิสูจน์) lemma 1 ที่นี่ ; ตั้งแต่นั้นมา$M=\sum_{j\in J}M'_j$และแต่ละ $M'_j$ เป็นเรื่องง่ายมีบางอย่าง $J'\subseteq J$ ด้วย $M=\bigoplus _{j\in J'}M_j'$. ตอนนี้เราอยู่ในฐานะที่จะใช้อาร์กิวเมนต์เดียวกันกับข้างต้นโดยพิจารณาจากองค์ประกอบของการคาดการณ์$\pi_j:M\to M'_j$ (เพื่อทุกสิ่ง $j\in J'$) ด้วยการรวม $M_i\hookrightarrow M$.