ถ้า $p$ เป็นไพรม์แปลกกับ $p ≡ 3(\mod 4)$แล้ว $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$
Aug 16 2020
พิสูจน์ว่าจริง. ให้ตัวอย่างการตอบโต้หากเป็นเท็จ ถ้า$p$ เป็นไพรม์แปลกกับ $p ≡ 3(\mod 4)$แล้ว $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$
หลักฐาน. $p ≡ 3(\mod 4)$ หมายถึง $4|p-3$. ทฤษฎีบทของวิลสันกล่าวว่า: ถ้า p เป็นไพรม์แล้ว$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ หรือเทียบเท่า $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ นัยหลัง $$p|(p-1)!+1.$$
ฉันไม่แน่ใจว่าจะไปจากที่นั่นหรือว่านั่นเป็นแนวทางที่ถูกต้องในการเริ่มต้น
คำตอบ
1 SiongThyeGoh Aug 16 2020 at 13:03
จากทฤษฎีบทของวิลสันเรารู้ว่า $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,
ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$
ซึ่งเทียบเท่ากับการพิสูจน์ว่า $\frac{p-1}2$ เป็นจำนวนคี่
ถ้า $p = 4k+3$แล้ว $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ ซึ่งเป็นจำนวนคี่