ถ้า $p$ เป็นไพรม์แปลกและ $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$แล้ว $\alpha^2$ ไม่ใช่โมดูโลรูทดั้งเดิม $p$.

Question

พิสูจน์ว่าเป็นจริงหรือให้ตัวอย่างการตอบโต้หากเป็นเท็จ

ถ้า $p$ เป็นไพรม์แปลกและ $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$แล้ว $\alpha^2$ ไม่ใช่โมดูโลรูทดั้งเดิม $p$.

ฉันพยายามพิสูจน์ว่ามันเป็นความจริง แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะเริ่มจากตรงไหน ฉันกำลังคิดจะใช้ทฤษฎีบทเล็กน้อยของแฟร์มาต์: ถ้า$p$ เป็นนายกและ $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$แล้ว $\alpha^{(p-1)}=1$ แต่เราจะกระโดดจาก FLT ไปสู่รากดั้งเดิมได้อย่างไร? รากดั้งเดิมถูกกำหนดให้เป็นองค์ประกอบ$\gamma=\phi(m)$ แต่มันจะผูกเข้ากับปัญหานี้ได้อย่างไร?

Answer 1

$(a^2)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}=1 \pmod{p}$ขั้นตอนสุดท้ายต่อจาก FLT

ดังนั้นคำสั่งของ $a^2$ mod $p$ มากที่สุด $\frac{p-1}{2}$ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นรากดั้งเดิมตามคำจำกัดความได้