ถ้า $V_n(a)$ นับการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายในลำดับ $\cos a, \cos2a,\cos3a,\ldots,\cos na,$ แสดงว่า $\lim_{n\to\infty}\frac{V_n(a)}n=\frac{a}\pi$
ปล่อย $0\leq\alpha\leq \pi $. $V_n (\alpha) $ แสดงจำนวนการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายในลำดับ $\cos\alpha,\cos2\alpha,\cos3\alpha,\ldots,\cos n\alpha $. จากนั้นพิสูจน์ว่า$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{V_n (\alpha)}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}.$$
ฉันเห็นคำใบ้ที่ไหน $\dfrac{V_n (\alpha)}{n}$ถือเป็นความน่าจะเป็น ฉันหมายความว่านิพจน์นี้เป็นความน่าจะเป็นของบางสิ่งได้อย่างไร ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันจะพัฒนาต่อไปได้อย่างไร
อัปเดต:ฉันมีวิธีแก้ปัญหานี้
ใน $n\alpha$ หมุนจำนวนครั้งที่เกิดการหมุนวงกลมเต็ม $=\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor$
ในการเปลี่ยนเครื่องหมายการหมุนเต็มวงกลมหนึ่งครั้งจะเกิดขึ้น 2 ครั้ง ดังนั้นใน$\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor$ การเปลี่ยนเครื่องหมายการหมุนเต็มเกิดขึ้น $=2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor$
ตอนนี้มุมที่เหลือคือ $n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor\times2\pi$
หากเราถือว่า 0 เป็นการเปลี่ยนเครื่องหมายในกรณีของ $\cos\left( \dfrac{\pi}{2}\right)$ และ $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$ แล้ว: -
(1) ถ้า $0\leq n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi<\dfrac{\pi}{2 }$ ลงชื่อเปลี่ยนแปลง 0 ครั้ง
(2) ถ้า $\dfrac{\pi}{2 }\leq n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi<\dfrac{3\pi}{2 }$ เปลี่ยนป้าย 1 ครั้ง
(3) ถ้า $\dfrac{3\pi}{2 }\leq n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi<2\pi$ เปลี่ยนป้าย 2 ครั้ง
ปล่อย $f$ เป็นฟังก์ชันดังกล่าว $$f\left(\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor\right)=\begin{cases}0,\text{ when }\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=0\\ 1,\text{ when }\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=1\\ 1,\text{ when }\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=2\\ 2,\text{ when } \left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=3\end{cases}$$
ดังนั้น $\dfrac{V_n(\alpha)}{n}=\dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor+ f\left(\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor\right)}{n}$
ดังนั้น $$\dfrac{V_n(\alpha)}{n}\geq \dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor}{n}$$ และ $$\dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor+ 2}{n}\leq \dfrac{V_n(\alpha)}{n}$$
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}$ และ $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor+ 2}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}$
ดังนั้นโดย Sandwich Theorem เราได้รับ $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{V_n(\alpha)}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}$ [พิสูจน์แล้ว]
ถูกต้องหรือไม่
คำตอบ
- ฉันจะถือว่ากรณีที่ $\alpha\in \pi \mathbb{Q}$ เป็นเรื่องง่ายเพราะลำดับ $\big(\cos(k\alpha)\big)_{k\ge1}$ เป็นระยะในกรณีนี้และหากเราพิจารณา $0$ เป็นจำนวนบวกแล้ว $V_{2q}(p\pi/q)=2p\pm 1$ และผลลัพธ์จะเกิดขึ้นในกรณีนี้
- ตอนนี้เราสมมติว่า $\alpha\notin \pi\mathbb{Q}$. ซึ่งหมายความว่าลำดับ$\big(k\alpha \mod(2\pi)\big)_{k\geq 1}$ มีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันใน $[0,2\pi]$. ดูลำดับการกระจายที่เท่าเทียมกัน
ตอนนี้ให้ $f$ เป็น $2\pi$ ฟังก์ชันคาบที่กำหนดโดย $$f(\theta)=\cases{0, & if $\ cos \ theta \ cos (\ theta + \ alpha) \ geq0$,\\ 1,& if $\ cos \ theta \ cos (\ theta + \ alpha) <0$.}$$ ด้วยคำจำกัดความนี้ $$V_n(\alpha)=\text{card}\left\{k\in\{1,\ldots,n\}:f(k\alpha)=1\right\}$$ แต่ถ้าเรากำหนด $$\mathcal{I}=\cases{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha,\frac{\pi}2\right)\cup \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha,\frac{3\pi}2\right) ,&if $0 <\ alpha <\ pi / 2$,\cr \left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha,\frac{3\pi}2\right)\cup\left(\frac{5\pi}{2}-\alpha,2\pi\right] ,&if $\ pi / 2 <\ alpha <\ pi$.}$$ แล้วสำหรับ $\theta\in[0,2\pi]$ เรามี $$f(\theta)=1\iff \theta\in\mathcal{I}$$ ดังนั้นการกระจายความเท่าเทียมกันของลำดับจึงหมายความว่า $$\lim_{n\to\infty}\frac{V_n(\alpha)}{n}=\frac{\text{length}(\mathcal{I})}{2\pi}=\frac{\alpha}{\pi}$$ เสร็จแล้ว$\qquad\square$
คำแนะนำ: ให้ $ b_n\equiv n a \pmod {2\pi}$ ระบุมุมที่เกิดขึ้นด้วย $x$- แกนใน $n^{th}$ระยะของลำดับ สมมติว่า$b$ มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงระหว่าง $0$ และ $2\pi$.
ก่อนอื่นให้พิจารณากรณีที่ $0<b_n<\pi/2$ หรือ $3\pi/2<b_n<2\pi$. ในขั้นตอนต่อไปการเปลี่ยนเครื่องหมายจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ$b_{n+1}>\pi/2$. อะไรคือความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นเนื่องจาก$b_{n+1}=b_n+a$เหรอ?
จากนั้นทำซ้ำข้อควรพิจารณาเดียวกันสำหรับกรณีที่ $\pi/2<b_n<3\pi/2$. การเปลี่ยนเครื่องหมายจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ$b_{n+1}>3\pi/2$. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นคืออะไร?