ทำ $(x-1)^2+(y-1)^2 \le c\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big) $ ถือ?

Aug 20 2020

มีค่าคงที่เป็นบวกหรือไม่ $c>0$ ดังนั้น $$(x-1)^2+(y-1)^2 \le c\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big) \tag{1}$$

ถือสำหรับการไม่ติดลบใด ๆ $x,y$เหรอ?

ให้ฉันเพิ่มบริบทสำหรับคำถามนี้:

แรงจูงใจมาจากกรณีดังกล่าว $x,y$ ตีความเป็นค่าเอกพจน์ของ a $2 \times 2$ เมทริกซ์ $A$ด้วยดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นค่าลบ แล้ว$f(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2=\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{SO}(2))$.

ฉันสนใจในขอบเขต $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{SO}(2))$ จากด้านบนด้วยผลรวมของสองคำ: คำที่ลงโทษการเบี่ยงเบนของ $A$ จากการรักษาพื้นที่และระยะ $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))$ซึ่งลงโทษการเบี่ยงเบนจากการเป็นไปตามข้อกำหนด (ที่นี่$\operatorname{CO}(2)=R^{+}\operatorname{SO}(2)$ คือกลุ่มของเมทริกซ์ตามรูปแบบ)

ในคำตอบสำหรับคำถามก่อนหน้านี้ของฉันข้อผูกพันต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว:$$ (x-1)^2+(y-1)^2 \le |x-y||x+y| + 2|xy-1|. $$

แม้ว่าสิ่งนี้จะใกล้เคียงกับสิ่งที่ฉันคิดไว้ แต่คำนี้ $|x-y||x+y|$ สามารถมีขนาดใหญ่ได้แม้ในขณะที่ $x,y$สนิทกันมาก ในความเป็นจริงเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))=\frac{1}{2}(\sigma_1(A)-\sigma_2(A))^2$นี่คือเหตุผลที่ถามเกี่ยวกับขอบเขตเฉพาะ $(1)$. (ระยะ$(x-y)^2$ สอดคล้องกับ $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))$).

คำตอบ

3 nguyenhuyen_ag Aug 20 2020 at 14:00

ปล่อย $x=y=0,$ เราได้รับ $c \geqslant 2.$

สำหรับ $c =2,$ ความไม่เท่าเทียมกันกลายเป็น $$(x-1)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big),$$ เทียบเท่ากับ $$2x^2y^2+x^2+y^2+2(x+y) \geqslant 8xy.$$ เราใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ AM-GM $$2x^2y^2+x^2+y^2+2(x+y) \geqslant 8\sqrt[8]{(x^2y^2)^2 \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot (xy)^2}=8xy.$$ ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันของคุณจึงมีผลต่อทุกคน $c \geqslant 2.$