ทำไม ${\rm Ult}(V,{\cal U})\vDash|[id]_{\cal U}|<j_{\cal U}(\kappa)$, เมื่อไหร่ $\cal U$ คือ $\delta$- กรองอัลตร้าฟิลเตอร์ที่สมบูรณ์แบบ $\cal P_\kappa(\alpha)$เหรอ?

Question

อาร์กิวเมนต์ต่อไปนี้ปรากฏในการพิสูจน์ทฤษฎีบท 4.7 ในกลุ่มกระดาษของ Bagaria-Magidor หัวรุนแรงและพระคาร์ดินัลที่กะทัดรัดมาก

ปล่อย $\delta<\kappa$ เป็นพระคาร์ดินัลนับไม่ได้ซึ่งอาจเป็นเอกพจน์และปล่อยให้ $\alpha$ เป็นลำดับที่ $\alpha\geq\kappa$. สมมติว่ามีไฟล์$\delta$- วัดละเอียดที่สมบูรณ์ $\mathcal{U}$ บน $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)$นั่นคือก $\delta$- กรองอัลตร้าฟิลเตอร์ที่สมบูรณ์ $\mathcal{U}$ บน $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)=\{x\subseteq\alpha:|x|<\kappa\}$ ดังนั้น $\{x\in\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha):a\in x\}\in\mathcal{U}$ สำหรับทุกๆ $a\in\alpha$. ปล่อย$j_{\mathcal{U}}:V\longrightarrow Ult(V,\mathcal{U})$เป็นการฝังพลังพิเศษที่สอดคล้องกัน ตั้งแต่$\mathcal{U}$ คือ $\delta$- เสร็จสมบูรณ์แล้ว $Ult(V,\mathcal{U})$เป็นที่ยอมรับ นอกจากนี้ยังโดย$\delta$- ความสมบูรณ์จุดวิกฤตของ $j_{\mathcal{U}}$ มากกว่าหรือเท่ากับ $\delta$. ตอนนี้คำถามของฉัน:

ทำไม $Ult(V,\mathcal{U})\vDash|[id]_{\mathcal{U}}|<j_{\mathcal{U}}(\kappa)$เหรอ?

ขอบคุณล่วงหน้า.

(ฉันจะเพิ่มแท็กultrapowersถ้ามันมีอยู่ แต่มันไม่ได้และฉันไม่มีชื่อเสียงในการสร้างมันขึ้นมา)

Answer 1

จำไว้ $j_{\mathcal U}(\kappa)$ คือ (ภาพที่อยู่ภายใต้การล่มสลายของสกรรมกริยา) คลาสการเทียบเท่าในกำลังพิเศษของฟังก์ชันคง $c$ ด้วยคุณค่า $\kappa$. ดังนั้นตามทฤษฎีบทของลอสสิ่งที่ต้องพิสูจน์ก็คือ$|id_{\mathcal U}(a)|<c(a)$ สำหรับ $\mathcal U$-เกือบทั้งหมด $a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$. นั่นคือ,$|a|<\kappa$ เกือบทั้งหมด $a$. แต่ความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นความจริงสำหรับทุกคน$a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$ตามความหมายของ $\mathcal P_\kappa(\alpha)$.