ทำไมวัตถุที่หมุนจึงหยุดลง?

Aug 19 2020

ขออภัยที่ถามคำถามง่ายๆนี้ แต่ฉันไม่พบเอกสารที่ดีที่จะพูดถึงสิ่งที่ฉันต้องการอย่างแท้จริง

ฉันกำลังใช้การจำลองการบิน แต่คำถามของฉันเกี่ยวข้องกับฟิสิกส์มากกว่าอากาศพลศาสตร์ดังนั้นฉันจึงถามคำถามนี้กับผู้เชี่ยวชาญด้านฟิสิกส์

สมมติว่าฉันมีทรงลูกบาศก์ (รูปทรงเรียบง่ายของระนาบ) ที่มีขนาดดังต่อไปนี้ความยาว: 14.8 ม.
ความสูง: 4.8 ม. ความ
ลึก: 10.0 ม.

ระบบพิกัดคือ X ถูกต้อง y คือความลึกขึ้นและ z (ด้านในกระดาษ)

ฉันใช้แรงบิดบนแกน Y สี่เหลี่ยมเริ่มได้รับความเร็วเชิงมุมและหมุนในระนาบ XZ รอบจุดศูนย์ถ่วง

ทุกสิ่งทำงานได้ดีในตอนนี้ แต่หลังจากที่ฉันลบแรงบิดออกแล้วลูกบาศก์ควรจะหยุดนั่นคือความเร็วเชิงมุมควรจะลดลงจนถึงศูนย์ สิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร?

ฉันคิดว่านี่น่าจะเกิดจากช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยเนื่องจากฉันใช้ระบบพิกัด 3 มิติความเฉื่อยควรเป็นเทนเซอร์ความเฉื่อยและวิธีที่ถูกต้องในการคำนวณเทนเซอร์ความเฉื่อยจากมิติเหล่านี้

ถ้าสิ่งที่ฉันคิดว่าถูกต้องฉันก็ต้องการสมการที่ว่าเทนเซอร์ความเฉื่อยมีผลต่อความเร็วเชิงมุมอย่างไรจนกระทั่งความเร็วเชิงมุมถึงศูนย์

ถ้าฉันทำไม่ถูกแรงที่ส่งผลให้ลูกบาศก์หยุดหมุนคืออะไร?

คำตอบ

Gert Aug 19 2020 at 22:34

ใช่ฉันรู้สมการการลากและวิธีคำนวณได้ แต่การลากไม่ได้ใช้กับการเคลื่อนที่แบบหมุนเฉพาะการเคลื่อนที่เชิงเส้น (นี่คือสิ่งที่ฉันได้อ่าน)

ไม่มันอาจจะไม่ใช่ สิ่งที่เป็นความจริงก็คือหนังสือเรียนส่วนใหญ่จัดการกับแรงหนืดเนื่องจากการแปลเชิงเส้นและเงียบเกี่ยวกับการลากหนืดแบบหมุน

แต่การหมุนร่างกายก็สัมผัสกับการลากที่หนืดเช่นกัน นั่นเป็นเพราะองค์ประกอบใด ๆ บนร่างกายที่หมุนได้ก็สัมผัสกับการเคลื่อนที่แบบแปลสัมผัสได้เช่นกัน

สำหรับการลากแปลอย่างง่ายแรงลากจะได้รับจาก:

$$F_D=\frac12 \rho v^2 C_D A\tag{1}$$

ลองพิจารณากรณีที่ง่ายที่สุดของแท่งที่หมุนรอบปลายด้านใดด้านหนึ่ง $O$:

องค์ประกอบ $\text{d}x$ ที่ระยะทาง $x$ จาก $O$ มีความเร็วสัมผัสของ:

$$v(x)=\omega x\tag{2}$$ ที่ไหน $\omega$ คือความเร็วเชิงมุมเกี่ยวกับ $O$. ด้วย$(1)$ เราได้รับแรงลากที่น้อยที่สุด $\text{d}F_D$

$$\text{d}F_D=\frac12 \rho v(x)^2 C_D \text{d}A$$

$$\text{d}A=\mu \text{d}x$$

สำหรับแถบเครื่องแบบ $\mu=\text{constant}$. $$\text{d}F_D=\frac12 \rho (\omega x)^2 C_D\mu \text{d}x$$ ด้วย $(2)$: $$\text{d}F_D=\frac12 \rho \mu \omega^2 C_D x^2 \text{d}x$$ เราหาแรงลากทั้งหมด $F_D$ โดยการรวมอย่างง่าย:

$$F_D=\int_0^L\text{d}F_D=\int_0^L\frac12 \rho \mu \omega^2 C_D x^2 \text{d}x$$ $$F_D=\frac12 \rho \mu \omega^2 C_D\int_0^Lx^2 \text{d}x$$ $$F_D=\frac16 \rho \mu \omega^2 C_DL^3$$ ที่ไหน $L$ คือความยาวทั้งหมด

นอกจากนี้เรายังสามารถคำนวณแรงบิดหนืดทั้งหมด $\tau$ จาก:

$$\text{d}\tau=x\text{d}F_D$$

ฉันจะปล่อยให้การบูรณาการง่ายๆกับคุณ

Eli Aug 20 2020 at 02:07

สำหรับโปรแกรมจำลองการบินของคุณคุณสามารถใช้แรงบิดในการเบรกแล้วหยุดการจำลองเมื่อความเร็วเชิงมุมเป็นศูนย์

สมการของคุณ

$$I_y\ddot\varphi(t)=\tau_m(t)+\tau_b(t)$$

ที่ไหน $I_y$ คือความเฉื่อยเกี่ยวกับแกน y และ $\tau_m$ คือแรงบิดที่ใช้ในการเร่งทรงลูกบาศก์และ $\tau_b$ เพื่อชะลอตัวทรงลูกบาศก์

จำลองสถานการณ์

$\tau(t)=\tau_m(t)+\tau_b(t)$

ความเร็วเชิงมุม $\dot\varphi$

JAlex Aug 20 2020 at 05:42

คำตอบสำหรับคำถามของคุณคือในชีวิตจริงทุกครั้งที่วัตถุเคลื่อนที่ในอากาศจะมีแรงที่พื้นผิวเกิดขึ้นเนื่องจากชั้นขอบเขตของอากาศ

อากาศพลศาสตร์ของวัตถุที่หมุนมีความซับซ้อนมาก (ดูตัวอย่างผลของแมกนัส ) แต่ผลลัพธ์ที่ได้คือมีแรงบิดสุทธิที่ใช้กับการเคลื่อนที่แบบหมุนเช่นเดียวกับแรงแปล (ยก / ลากเป็นต้น) เนื่องจากการเคลื่อนที่

พิจารณาแถบหมุนและหาค่าความเร็ว $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ ของวัตถุ (สัมพันธ์กับอากาศ) ออกเป็นสองส่วน $v_n$ สำหรับความเร็วปกติและ $v_t$ สำหรับความเร็วสัมผัส

แรงต่อต้านทั้งสองกระทำกับองค์ประกอบพื้นผิวนั้น $F_n$ เป็นแรงกดดันและ $F_t$เป็นแรงเสียดทานของพื้นผิว พวกเขาไม่ได้สัดส่วนกันเนื่องจากอย่างหลังขึ้นอยู่กับความหนืดของอากาศและอันดับแรกคือความหนาแน่น

เพิ่มเอฟเฟกต์รวมทั้งหมดรอบตัวเพื่อให้ทราบว่ากำลังสุทธิและแรงบิดเป็นอย่างไร