โทโพโลยีที่อ่อนแอของพื้นที่ที่เป็นบรรทัดฐาน

Aug 16 2020

ปล่อย $X,Y$ เป็นสองพื้นที่มาตรฐานและ $T:X\rightarrow Y$ เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตตอนนี้พิจารณา $X,Y$ด้วยโทโพโลยีที่อ่อนแอ คำถามของฉันก็คือ$T$ แมปชุดขนาดเล็กกะทัดรัดของ $X$ ไปยังชุดที่มีขนาดกะทัดรัดเล็กน้อย $Y$ และคำถามที่สองก็คือ $T$ ยังคงเป็นแผนที่ต่อเนื่องหากเราจัดเตรียม $X,Y$ ด้วยโทโพโลยีที่อ่อนแอ

คำตอบ

1 Matematleta Aug 16 2020 at 04:30

ถ้า $V$ เป็นองค์ประกอบ subbasis ของ $\tau_w$ ใน $Y$ ที่มี $0_Y$จากนั้นก็มีฟังก์ชัน $\phi:Y\to \mathbb F$ และ $\epsilon>0$ ดังนั้น $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$. จากนั้น$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$. ตอนนี้$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่อง (บรรทัดฐาน -) ดังนั้น $T^{-1}(V)$ เปิดอยู่อย่างอ่อนแรง $X$ และประกอบด้วย $0_X$. ก็เป็นไปตามนั้น$T$อ่อนแอ - อ่อนแอต่อเนื่อง สิ่งนี้ให้คำตอบที่ยืนยันสำหรับคำถามที่สองซึ่งจะให้คำตอบที่ยืนยันสำหรับคำถามแรก

1 JacobManaker Aug 16 2020 at 05:10

คำตอบนี้ไม่ได้ให้อะไรใหม่ แต่ฉันคิดว่าคำอธิบายในแง่ของลำดับอาจชัดเจนกว่า คำถามเกี่ยวกับความกระชับตามมาจากความต่อเนื่องที่อ่อนแอถึงอ่อนแอ (ความหมายมีไว้สำหรับทอปอโลยีตามอำเภอใจ) ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะแสดงอย่างหลัง

สมมติ $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$. จากนั้นสำหรับทุกคน$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$. โดยเฉพาะอย่างยิ่งคู่ใด ๆ ของรูปแบบ$g\circ T$, ที่ไหน $g\in Y^*$จะตอบสนอง $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ แต่นี่เป็นเพียง $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$.