ทุกฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนท่อร่วมคอมเพล็กซ์ขนาดกะทัดรัดมีค่าคงที่เฉพาะที่ loc

Question

เรารู้ว่าถ้า $X$ คือท่อร่วมคอมเพล็กซ์ที่เชื่อมต่อขนาดกะทัดรัดจากนั้นทุกฟังก์ชั่นโฮโลมอร์ฟิก $X$คงที่ ตอนนี้ควรจะเป็นอย่างนั้น$X$ไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อจากนั้นเราสามารถเลือกส่วนประกอบที่เชื่อมต่อได้ เราทราบดีว่าส่วนประกอบที่เชื่อมต่อเป็นชุดย่อยแบบปิดและทุกชุดย่อยแบบปิดของชุดขนาดกะทัดรัดก็มีขนาดกะทัดรัดเช่นกัน ดังนั้นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อจึงมีขนาดกะทัดรัดดังนั้นเราจึงสามารถอนุมานได้ว่าทุกฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในส่วนประกอบที่เชื่อมต่อมีค่าคงที่ จากนั้นเราสามารถอนุมานได้ว่าทุกฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกเปิดอยู่$X$ เป็นค่าคงที่ในท้องถิ่น

ฉันคิดว่านี่อาจไม่ถูกต้อง แต่ฉันไม่พบว่าปัญหาอยู่ตรงไหนในการพิสูจน์ของฉันในข้างต้น

Answer 1

นี่คือความถูกต้อง อย่างไรก็ตามเมื่อมีคนพูดว่า "ท่อร่วมขนาดเล็ก" พวกเขามักจะหมายถึงท่อร่วมคอมแพคที่เชื่อมต่ออยู่เสมอ แต่โดยปกติแล้วไม่มีอะไรที่จะได้รับจากการจัดการกับท่อร่วมคอมแพคที่ไม่ได้เชื่อมต่อเนื่องจากเราอาจดูส่วนประกอบที่เชื่อมต่อแต่ละชิ้นด้วย

(สำหรับท่อร่วมที่ไม่ใช่คอมแพคนี่อาจเป็นเรื่องยากกว่าเพราะเรามีสิ่งต่างๆเช่น $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ ซึ่งเป็นการรวมกันที่ไม่ปะติดปะต่อกันของท่อร่วมสองช่อง แต่พวกมันเป็น "สัมผัส" และในบางแง่ก็แตกต่างจาก $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$, ตัวอย่างเช่น.)