ทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดอาจล้มเหลวหากโคโดเมนไม่ใช่ Banach

Aug 16 2020

ยกตัวอย่างพื้นที่ Banach $V$พื้นที่ปกติ $W$แผนที่คาดการณ์เชิงเส้นที่มีขอบเขต $T: V \to W$ และส่วนย่อยที่เปิดอยู่ $G \subseteq V$ ดังนั้น $T(G)$ ไม่ได้เปิดใน $W$.

ความพยายาม : พิจารณา$V= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_\infty), W= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_1)$ และ $T: V \to V: f \mapsto f$. อย่างชัดเจน$T$ เป็นการคาดเดาเชิงเส้นด้วย $$\Vert Tf \Vert_1 = \int_0^1 |f| \le \int_0^1 \Vert f \Vert_\infty = \Vert f \Vert_\infty$$

ดังนั้น $\Vert T \Vert \leq 1$ และ $T$มีขอบเขต นอกจากนี้เรายังมี$\Vert f \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_\infty$.

ตอนนี้เราแสดงให้เห็นแล้ว $G= B_\infty(0,1)$ ไม่เปิดให้ $\Vert \cdot \Vert_1$. อันที่จริงสมมติว่าตรงกันข้าม$0$ คือ $\Vert \cdot \Vert_1$- จุดภายในของ $G$. แล้วมี$\epsilon > 0$ ดังนั้น

$$B_1(0, \epsilon) \subseteq G = B_\infty(0,1)$$

ดังนั้นสำหรับ $f \in C([0,1])\setminus \{0\}$ เรามี $$\Vert \frac{\epsilon}{2 \Vert f \Vert_1} f \Vert_\infty \leq 1$$

ได้แก่ $\Vert f \Vert_\infty \leq \frac{2}{\epsilon} \Vert f \Vert_1$ สำหรับ $f \in C([0,1])$. แต่แล้วบรรทัดฐาน$\Vert \cdot \Vert_1$ และ $\Vert \cdot \Vert_\infty$ เทียบเท่าซึ่งหมายความว่า $W$คือ Banach นี่คือความขัดแย้ง

คำถาม : ความพยายามของฉันถูกต้องหรือไม่?

คำตอบ

1 supinf Aug 17 2020 at 12:58

ใช่ความพยายามของคุณถูกต้อง

ความเท่าเทียมกันของบรรทัดฐานต้องใช้อสมการทั้งสองดังนั้นจึงเป็นการดีที่จะกล่าวถึงสิ่งนั้น

ฉันคิดว่ามันสามารถปรับปรุงได้ด้วยการอธิบายเหตุผล $W$ ไม่ใช่พื้นที่ Banach