ตระกูลฟังก์ชั่นกับ $f(0) = 0$ และ $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$ เป็นเรื่องปกติ
ฉันมีคำถามต่อไปนี้
ปล่อย $B$ เป็นชุดของฟังก์ชัน $f$ซึ่งเป็นการวิเคราะห์บนดิสก์ยูนิต $\mathbb{D}$ และพึงพอใจทั้งสองอย่าง $f(0) = 0$ และ $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$. พิสูจน์ว่า$B$ เป็นครอบครัวปกติ
มีคำตอบสองสามส่วนที่ฉันไม่แน่ใจ
พิจารณาตระกูลที่แปล $g(z) = f(z) - 1$ ซึ่งรับค่าเป็น $\mathbb{C} - [0,1]$. ตั้งแต่$g(\mathbb{D})$ เป็นเพียงการเชื่อมต่อและไม่ใช่ศูนย์เราอาจกำหนดสาขาการวิเคราะห์มูลค่าเดียวของ $\sqrt{g(z)}$ ใน $g(\mathbb{D})$. เมื่อเราหารากที่สองแล้วค่าทั้งหมดของ$\sqrt{g(z)}$บรรจุอยู่ในระนาบครึ่งซึ่งเส้นที่แยกระนาบครึ่งมีต้นกำเนิด จากนั้นหลังจากการหมุนเวียนที่เป็นไปได้เราอาจสันนิษฐานได้ว่า$\sqrt{g(\mathbb{D}})$บรรจุอยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ตอนนี้ฉันสามารถใช้เทคนิคที่ใช้ในคำตอบนี้ได้$\mathcal{F} \subset \mathcal{H}(D(0,1))$ ด้วย $Re f>0$ และ $f(0)=1$เป็นครอบครัวปกติที่แสดงให้เห็นว่าครอบครัวที่แปล (ด้วยเหตุนี้$B$) เป็นครอบครัวปกติ.
สิ่งหนึ่งที่ฉันไม่แน่ใจคือฉันสามารถพูดได้ว่าค่าทั้งหมดของ $\sqrt{g(z)}$บรรจุอยู่ในระนาบครึ่งซึ่งเส้นแบ่งระนาบครึ่งมีต้นกำเนิด ดูเหมือนจะจริง แต่ฉันไม่แน่ใจ นอกจากนี้ฉันไม่ได้ใช้ความจริงอย่างเต็มที่$f(\mathbb{D}) \cap [1,2] =\emptyset$ ตามที่ฉันต้องการจริงๆเท่านั้น $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \emptyset$.
ความคิดเห็นหรือข้อเสนอแนะใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก
คำตอบ
ความคิดของคุณใช้ไม่ได้ผลและคุณไม่ได้ใช้สมมติฐานที่ว่าช่วงเวลาที่ไม่เกิดการงอกเงยถูกปล่อยให้อยู่นอกช่วงควรเป็นสัญญาณเตือน (แต่แน่นอนว่ามันไม่ได้เป็นข้อพิสูจน์ว่าอาร์กิวเมนต์ไม่สามารถทำงานได้ในตัวเอง ).
เพื่อดูว่า $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \varnothing$ ไม่ได้หมายความถึงความปกติของครอบครัวที่พิจารณาถึงหน้าที่ $$f_k(z) = 1 - e^{kz}$$ สำหรับ $k \in \mathbb{N}$. เรามี$f_k(\mathbb{C}) \cap \{1\} = \varnothing$ เพื่อทุกสิ่ง $k$และ $f_k(0) = 1 - 1 = 0$. แต่$f_k(z)$ มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอเป็น $\infty$ ในครึ่งระนาบด้านขวาและมันจะมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอเป็น $1$ในครึ่งระนาบซ้าย ลำดับไม่ได้มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ ณ จุดใด ๆ ของแกนจินตภาพ
ข้อผิดพลาดแรกในอาร์กิวเมนต์ของคุณคือการอ้างว่า $g(\mathbb{D})$เชื่อมต่อกันง่ายๆ ไม่จำเป็นต้องพิจารณาตัวอย่างเช่น$$g(z) = -\exp \biggl(\frac{1 + z}{1-z} - 1\biggr)\,,$$ ที่ไหน $g(\mathbb{D})$ เป็นส่วนประกอบ (ในระนาบ) ของแผ่นดิสก์ขนาดเล็กรอบ ๆ $0$. การเชื่อมต่อที่เรียบง่ายของ$\mathbb{D}$ รับประกันการมีอยู่ของรากที่สองโฮโลมอร์ฟิก $\sqrt{g(z)}$แต่ภาพนั้นยังสามารถเป็นได้ทั้งหมด $\mathbb{C}\setminus \{0\}$.
แต่แนวคิดพื้นฐานในการใช้สแควร์รูทเพื่อให้ได้ฟังก์ชั่นโฮโลมอร์ฟิกที่มีภาพอยู่ในงานครึ่งระนาบเดียวมันต้องทำให้แตกต่างกันเล็กน้อย
พิจารณาการเปลี่ยนแปลงของMöbius $$T \colon w \mapsto 2\cdot\frac{w-1}{w-2}\,.$$ นี่จะแมปช่วงเวลาปิด $[1,2]$ ถึง $[-\infty, 0]$และ $T(0) = 1$.
เมื่อใช้สิ่งนี้เราสามารถพิจารณาครอบครัวได้ $$\tilde{B} = \Biggl\{ z \mapsto \sqrt{2\cdot \frac{f(z) - 1}{f(z) - 2}} : f \in B\Biggr\}$$ ที่ซึ่งใช้สาขาหลักของรากที่สอง
ตอนนี้ $\tilde{B}$เป็นเพียงครอบครัวที่พิจารณาในคำถามที่เชื่อมโยงดังนั้นเราจึงรู้ว่าเป็นครอบครัวปกติ จากนั้นก็ยังคงอนุมานความเป็นปกติของ$B$จากนั้น. (ถ้า$(h_k)$ คือลำดับคอนเวอร์เจนต์ที่มีความสม่ำเสมอในท้องถิ่นจากนั้น $(F\circ h_k)$ ยังบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในพื้นที่ภายใต้สภาวะที่ไม่รุนแรง $F$.)