ตรรกะ 'อ่อนแอ' หมายถึงอะไร?
สารานุกรมปรัชญาสแตนฟอร์ด, sv "Modal Logic," state,
ลอจิกที่คุ้นเคยที่สุดในตระกูลโมดอลสร้างขึ้นจากตรรกะที่อ่อนแอเรียกว่า K (ตามหลัง Saul Kripke) ...
อ้างอิงถึง 'อ่อนแอ' และ 'อ่อนแอ' ค่อนข้างบ่อยในคำถามโพสต์บนเว็บไซต์นี้เช่นอ่อนแอตรรกะลำดับที่สอง แต่คำตอบที่ได้รับภายใต้หัวข้อเฉพาะนั้นหรือคำอธิบายเกี่ยวกับความอ่อนแอเช่นที่ให้ไว้ภายใต้สัจพจน์หนึ่งหมายถึงอะไร "อ่อนแอกว่า" อีก? อธิบายให้ฉันฟังว่าอะไรคือจุดอ่อนของ "ตรรกะ" หรือของระบบอื่น ๆ ทั้งหมด
"ตรรกะที่อ่อนแอ" หมายถึงอะไร?
คำตอบ
ตรรกะมีความแข็งแกร่งยิ่งพิสูจน์ทฤษฎีบทได้มากขึ้นและตามข้อสรุปก็ยิ่งมีโมเดลน้อยลง
ยิ่งมีสัจพจน์มากขึ้นและสัจพจน์ที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น (ในแง่ที่ว่า A มีความเฉพาะเจาะจงมากกว่า B ถ้า A มีค่า B แต่ B ไม่ได้มาจาก A) ยิ่งมีสูตรมากขึ้นก็จะอนุมานได้จากสัจพจน์เหล่านี้: ตรรกะมีความแข็งแกร่ง ในแง่ที่สามารถพิสูจน์ประโยคต่างๆได้
ในทางกลับกันยิ่งทฤษฎีต้องการให้เป็นจริงมากเท่าไหร่โครงสร้างก็จะยิ่งยากขึ้นสำหรับโครงสร้างที่จะตอบสนองสัจพจน์ทั้งหมดดังนั้นจะมีแบบจำลองน้อยลง: ตรรกะมีความแข็งแกร่งในแง่ที่สามารถจัดการได้ โครงสร้างจำนวนมากและทิ้งความเป็นไปได้เพียงเล็กน้อยของสิ่งที่จักรวาลจะมีลักษณะ
ลอจิกโมดอล K มีเพียงกฎเดียวและสัจพจน์เดียวหรือในแง่ของความสัมพันธ์การช่วยการเข้าถึงไม่มีข้อ จำกัด เลย ดังนั้นโครงสร้างโมดอลใด ๆ ก็สามารถตอบสนองทฤษฎีนี้ได้และไม่มีทฤษฎีจำนวนมากที่ได้มาจากสัจพจน์เดียวนี้และจัดการให้เป็นจริงในระดับสากลในโครงสร้างต่างๆเหล่านี้ทั้งหมดในการตั้งค่าทั่วไปนี้
ด้วยการเพิ่มสัจพจน์หรือข้อ จำกัด เกี่ยวกับความสัมพันธ์ของการช่วยสำหรับการเข้าถึงโครงสร้างเพิ่มเติมจะถูกตัดออก ดังนั้นจึงสามารถพิสูจน์ประโยคได้มากขึ้นและจัดการให้เป็นจริงในแบบจำลองที่น้อยลงทั้งหมดในทฤษฎีที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นนี้ ทฤษฎีเช่น T, S4, S5 จึงแข็งแกร่งกว่า K
โปรดทราบว่าคำจำกัดความนี้จะแยกย่อยออกไปหากตรรกะไม่สอดคล้องกันและรวมเอากฎแห่งการระเบิดแบบคลาสสิก: จากนั้นตรรกะจะพิสูจน์ทุกคำสั่งและไม่มีแบบจำลองซึ่งตามเกณฑ์ข้างต้นจะทำให้มีความแข็งแกร่ง แต่นี่ไม่ใช่สิ่งที่เราต้องการโดยสัญชาตญาณเพราะตรรกะดังกล่าวเป็นเรื่องเล็กน้อย (แม้ว่าโปรดทราบว่าข้อตกลงคลาสสิกนี้ไม่จำเป็น แต่ก็มีตรรกะที่ไม่ทำให้ทฤษฎีที่ไม่สอดคล้องกันระเบิดโดยอัตโนมัติเปรียบเทียบตรรกะที่สอดคล้องกัน)