เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับ Affinely (ใน) อย่างไรใน $\mathbb R^n$ จัดในอวกาศ?

Aug 15 2020

พิจารณาชุดเวกเตอร์ที่ จำกัด $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$.

ชุดนี้เป็นอิสระเชิงเส้นหาก $\sum_k \alpha_k v_k=0$ หมายถึง $\alpha_k=0$. ในทางเรขาคณิตฉันเข้าใจการพึ่งพาเชิงเส้นเมื่อระบุว่าชุดเวกเตอร์มีอยู่ในไฮเปอร์เพลนที่ผ่านจุดกำเนิด

ในทางกลับกันเราว่า $\{v_i\}_i$มีaffinely ขึ้นถ้า$\sum_k \alpha_k v_k=0$ สำหรับ $\alpha_k$ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดและเป็นเช่นนั้น$\sum_k\alpha_k=0$. มีสัญชาตญาณทางเรขาคณิตที่คล้ายกันหรือไม่ที่จะเห็นภาพเมื่อชุด$\{v_i\}_i$ ขึ้นอยู่กับ / เป็นอิสระ?

คำตอบ

2 LeeMosher Aug 15 2020 at 20:33

ลักษณะของการพึ่งพาเชิงเส้น (in) ของคุณไม่ถูกต้องนัก เวกเตอร์ทุกชุดมีอยู่ในไฮเปอร์เพลนบางประเภทผ่านจุดเริ่มต้นนั่นคือช่วงของมัน

แต่ฉันจะบอกว่าเวกเตอร์ชุด จำกัด นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากพวกมันอยู่ในไฮเปอร์เพลนผ่านจุดกำเนิดที่มีขนาดน้อยกว่าจำนวนเวกเตอร์ในเซต

และในหลอดเลือดดำที่คล้ายกันชุดของจุด จำกัด ใน $\mathbb R^n$เป็น affinely ขึ้นถ้ามันอยู่ในไฮเปอร์เพลนที่มีมิติน้อยกว่าจำนวนของจุดในชุดลบ 1 ดังนั้นจุดที่แตกต่างกัน 3 จุดบนเส้นจึงขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์กัน แต่ 2 จุดที่แตกต่างกันบนเส้นนั้นมีความเป็นอิสระกัน

มีภาพทางเรขาคณิตที่ดีอีกรูปหนึ่งของความเป็นอิสระของกลุ่ม:

  • คู่ของจุดนั้นเป็นอิสระอย่างแท้จริงหากเป็นชุดจุดสิ้นสุดของส่วนของเส้นตรง (ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อจุดสองจุดในคู่นั้นไม่เท่ากัน)
  • จุดสามจุดนั้นเป็นอิสระอย่างแท้จริงหากเป็นเซตจุดยอดของสามเหลี่ยม
  • จุดสี่เท่าเป็นอิสระอย่างแท้จริงหากเป็นชุดจุดยอดของจัตุรมุข
  • $k$- คะแนนเต็มจะไม่ขึ้นอยู่กับว่าเป็นชุดจุดยอดของ a $k-1$มิติเริม
1 JohnHughes Aug 15 2020 at 18:49

ดังที่ @ runway44 กล่าวไว้ว่า "พวกเขาทั้งหมดอยู่ในไฮเปอร์เพลน" แม้ว่าอาจจะเป็นไฮเปอร์เพลนที่ไม่มีต้นกำเนิด หากต้องการดูสิ่งนี้อย่างรวดเร็วให้ใช้ไฟล์$k+1$ เวกเตอร์ $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ ด้วย $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ และลบ $v_0$ จากแต่ละ $v_1, \ldots, v_k$ ที่จะได้รับ $w_1, \ldots, w_k$.

จากนั้นเวกเตอร์ $w_k$ทั้งหมดนอนบนไฮเปอร์เพลนคู่ขนานผ่านจุดเริ่มต้น (ควรทำพีชคณิตเพื่อสร้างสิ่งนี้ด้วยตัวคุณเอง)

หรือจะวางไว้ในรูปแบบคลาสสิกมากขึ้นถ้าเราใช้ $v_0$ เป็นต้นกำเนิดของระบบพิกัดใหม่จากนั้นส่วนที่เหลือ $v_i$ เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในไฮเปอร์เพลน