วิธีหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับสิ่งที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันนี้ $2^{nd}$- สั่งซื้อ DE: $y''-2y'+y=xe^{-x}\cos(x)$เหรอ?

Aug 20 2020

ให้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน:

$$\boxed{y''-2y'+y=x \cdot e^{-x} \cdot \cos(x) } \tag{1}$$

สังเกตว่า RHS อยู่ในรูปแบบ: $ b(x)=x\cdot e^{sx} \cdot \cos(tx) $ ที่ไหน $s=-1, t=1$


ทฤษฎีบท 1

ปล่อย $y_p(x)$ เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของ DE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันและ $y_0(x)$เป็นคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่เกี่ยวข้อง ( หรือที่เรียกว่าสมการเสริม ) จากนั้นคำตอบทั่วไปของสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันคือ:$$ y_{g}(x) = y_p(x) + c_1 \cdot y_0(x)$$


โซลูชันบางส่วนของ DE เสริม

DE เสริมคือDE เชิงเส้นลำดับที่สอง :$\boxed{y''-2y'+y=0 } \quad(2)$

สมการลักษณะเฉพาะคือ: $\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0 $ สังเกตว่า $\sqrt{b^2-4ac}=0$ ดังนั้น $\lambda= \frac{-b}{2a} = 1$

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ DE เสริมคือ: $\boxed{y_0(x) = c_1e^x+c_2xe^x } $


สารละลายทั่วไปของ DE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

วิธีการไม่ระบุสัมประสิทธิ์

ทฤษฎีชี้ให้เห็นว่า

การคาดเดาที่มีการศึกษาเกี่ยวกับโซลูชันเฉพาะของ $(1)$ จะเป็นการแก้ปัญหาในรูปแบบที่คล้ายกัน

  • ตำราของฉันแนะนำให้ใช้ $y_{sub}(x) = z(x)e^{(s-it)x}$ เป็นการคาดเดาเพื่อแก้ปัญหาทางเลือกเล็ก ๆ น้อย ๆ ของ $(1)$ นั่นคือ $\boxed{y''-2y'+y=P(x)e^{(s-it)x} \quad(4)}$ (แน่นอน $e^{ix} =\cos(x)+i \sin(x)$). จากนั้นระบุว่า$Im(y_p(x))$ หรือ $Re(y_p(x))$ จะเป็นวิธีแก้ปัญหาบางส่วนสำหรับ $(1)$.

  • แหล่งข้อมูลอื่นแนะนำว่าสำหรับรูปแบบนี้$b(x)=ae^{αx} \cos βx+be^{αx} \sin βx$ ฉันใช้ $ Ae^{αx} \cos βx+Be^{αx} \sin βx $เป็นเดามีหมายเหตุว่า"เดาต้องมีคำทั้งสองแม้ว่าทั้ง = 0 หรือข = 0"

ให้ทำตามคำแนะนำในตำราของฉัน:

$\text{Let}\quad \:\:\: y_{sub}(x) = z(x)\cdot e^{(-1+i)x} \\ \text{then} \quad \: y_{sub}^{(1)}(x) =(z'(x)-(1-i)z(x)) \cdot e^{(-1+i)x} \\ \text{and} \quad \:\: y_{sub}^{(2)}(x) = (z''(x) - (2- 2i)z'(x) - 2iz(x))\cdot e^{(-1+i)x}$

การเสียบอนุพันธ์บางส่วนและอนุพันธ์เข้า $(4)$ เรามี:

$y''-2y'+y=x \cdot e^{(-1+i)x} \iff \\ $ $(z'' - (2- 2i)z' - 2iz)\cdot e^{(-1+i)x} + (-2z'+2(1-i)z) \cdot e^{(-1+i)x} + z\cdot e^{(-1+i)x} = x \cdot e^{(1-i)x} \iff\\$ $z'' - (2- 2i)z' - 2iz -2z' + 2(1-i)z + z = x \iff $

$z''-4z'+2iz'-4iz+3z=x \iff \\$

$$ \boxed{z''+2z(-2+i)+z(3-4i) = x} \tag{5}$$

ตอนนี้ $(5)$ มี $b(x) = $ พหุนามดังนั้นการเดาวิธีแก้ปัญหาบางส่วนจะอยู่ในรูปแบบ

  • $y_{sub_2} = ax+b \iff$
  • $y^{(1)}_{sub_2} = a \iff$
  • $y^{(2)}_{sub_2} = 0$

ดังนั้นการเสียบสารละลายบางส่วนและอนุพันธ์เข้า $(5)$ เรามี:

$z''+2z(-2+i)+z(3-4i) = x \iff$

$0 +2a(-2+i)+(ax+b)(3-4i) -x =0 \iff $

$ -4a +i2a +3ax -i4ax +3b -i4b -x =0 \iff $

$$ \boxed{[(3a-1)x - (4a +3b)] + i[4ax + (2a -4b) ] = 0} \quad (6)$$

ลองมาเป็นส่วนจินตภาพของ $(6)$ แล้ว:

$$ (E) = \left\{ \begin{array}{c} (3a-1)x - (4a +3b) = 0 \\ 4ax + (2a -4b) = 0 \end{array} \right. $$

แต่ไม่มีคำตอบสำหรับระบบนี้ ... ตัวอย่างเช่นสมการแรก $a = \frac13$ และในวันที่สอง $a=0$ซึ่งเป็นความขัดแย้ง ฉันตรวจสอบการคำนวณสามครั้ง (ดังนั้นฉันคิดว่ามันถูกต้อง) ฉันไม่เข้าใจว่าเกิดอะไรขึ้น แต่ที่สำคัญที่สุดฉันไม่สามารถเข้าใจวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์เหล่านี้ได้ (ซึ่งรวมถึงพหุนามเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันตรีโกณมิติ) ทุกอย่างดูซับซ้อนเกินไปสำหรับฉัน

ฉันรู้ว่านี่เป็นโพสต์ที่ยิ่งใหญ่ไม่ใช่เรื่องเดียว แต่มีคำถามเกิดขึ้นมากมายดังนั้นฉันเพื่อความชัดเจนฉันจะยึดคำถามเริ่มต้น: จะแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้ได้อย่างไร?

PS: แน่นอนคำตอบอื่น ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก :)

ไชโย!

คำตอบ

5 Aryadeva Aug 19 2020 at 23:38

คำแนะนำ: $$y''-2y'+y=xe^{-x}\cos(x)$$ สมการเชิงอนุพันธ์นี้เทียบเท่ากับ: $$(ye^{-x})''=xe^{-2x} \cos x$$ บูรณาการสองครั้ง


แก้ไข 1: $$y''-2y'+y=xe^{-x}\cos(x)$$ คูณด้วย $e^{-x}$ $$e^{-x}(y''-2y'+y)=xe^{-2x}\cos(x)$$ $$e^{-x}(y''-y')-e^{-x}(y'-y)=xe^{-2x}\cos(x)$$ $$(e^{-x}y')'-(e^{-x}y)'=xe^{-2x}\cos(x)$$ $$(e^{-x}y'-e^{-x}y)'=xe^{-2x}\cos(x)$$ $$(e^{-x}y)''=xe^{-2x}\cos(x)$$

1 enzotib Aug 19 2020 at 23:54

ฉันจะลองใช้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะของแบบฟอร์มนี้ $$ y_p(x)=e^{-x}[(ax+b)\cos x+(cx+d)\sin x] $$

Dimitris Aug 20 2020 at 02:37

รูปแบบของพารามิเตอร์และ Wronskian

เรารู้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของส่วนเสริม $\boxed{y_0(x) = c_1e^x+c_2xe^x } \quad(1)$

ทฤษฎีบท

ให้ ODE $a_ny^{(n)} +a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' +a_0y =b$ และปล่อยให้ $\{y_1,y_2\}$เป็นชุดพื้นฐานของการแก้ปัญหาของ ODE จากนั้นวิธีแก้ปัญหาบางส่วนของ ODE คือ:$$ y_p(x)=\sum_{i=1}^{2}y_i(x)\int_{x_0}^{x} \frac{W_i(y_1,y_2)(t)}{W(y_1,y_2)(t)}\cdot \frac{b(t)}{a_n(t)} dt$$ ที่ไหน $W$ ฉันคือดีเทอร์มิแนนต์ Wronskian

เลือก $x_0 =0$.

  • $ W(y_1,y_2)(t) = \left| \begin{array}{ccc} y_1 & y_2 \\ y^{'}_1 & y^{'}_2 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} e^t & te^t \\ e^t & e^t(1+t) \end{array} \right| = e^{2t}(1+t) - e^{2t}t = e^{2t} $

  • $ W_1(y_1,y_2) = \left| \begin{array}{ccc} 0 & te^t \\ 1 & e^t(1+t) \end{array} \right| = -te^t $

  • $ W_2(y_1,y_2) = \left| \begin{array}{ccc} e^t & 0 \\ e^t & 1 \end{array} \right| = e^t$

นอกจากนี้ $a_n(t) = 1$ และ $b(t) = te^{-t}cos(t)$

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาบางส่วนคือ:

$$ y_p(x)=\sum_{i=1}^{2}y_i(x)\int_{0}^{x} \frac{W_i(y_1,y_2)(t)}{W(y_1,y_2)(t)}\cdot \frac{b(t)}{a_n(t)} = \\ e^x \int_{0}^{x} \frac{-te^t}{e^{2t}}\cdot te^{-t}cos(t) dt + xe^x \int_{0}^{x} \frac{e^t}{e^{2t}}\cdot te^{-t}cos(t) dt (1) $$

การแก้ปัญหาเหล่านั้นใน Wolfram Alpha I1 , I2 :

$y_p(x) = \frac{e^{-x}}{125} (- 2 (10 x + 11) sin(x) + (15 x + 4) cos(x))$


หมายเหตุ: นี่เป็นผลลัพธ์เดียวกับผลลัพธ์ของ @ Aryadeva ที่ใช้วิธีอื่นกับคำตอบของเธอ / เขา