วิธีการสร้างแบบฝึกหัดด้านฟังก์ชันวิทยา 1a.

Aug 16 2020

คำถามคือ:

  1. ค้นหาฟังก์ชันการสร้างอนุกรมกำลังธรรมดาของแต่ละลำดับต่อไปนี้ในรูปแบบปิดที่เรียบง่าย ในแต่ละกรณีลำดับจะถูกกำหนดสำหรับทุกคน$n\geq0$. (ก)$a_n=n$

นี่คือฟังก์ชั่น $A(x)=0x^0+1x^1+2x^2+3x^3+\ldots$ซึ่งฉันเขียนใหม่เป็น: $A(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots)+(x^2+x^3+x^5+\ldots)+(x^3+x^4+x^5+\ldots)+\ldots$

แต่ละเทอมเป็นอนุกรมเรขาคณิตฉันจึงเขียนมันเป็น

$\begin{align} A(x) &= \frac{x}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\ldots \\ &= \frac{x}{1-x}\left(1+x+x^2+\ldots\right) \\ &=\frac{x}{(1-x)^2} \end{align}$

ดังนั้นคำตอบของฉันก็คือ $A(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$. อย่างไรก็ตามคีย์คำตอบที่ด้านหลังของหนังสือบอกว่าคำตอบคือ "$(xD)(1/(1-x))=x/(1-x)^2$"ในขณะที่ฟังก์ชันการสร้างของฉันดูเหมือน RHS ของคีย์คำตอบฉันไม่เข้าใจว่า LHS หมายถึงอะไรมีบางอย่างที่ฉันขาดหายไปที่นี่หรือไม่?

คำตอบ

2 FormulaWriter Aug 16 2020 at 17:15

$LHS$เป็นอีกวิธีหนึ่งในการรับฟังก์ชันการสร้างเดียวกันกับที่คุณพบ มันบอกว่า: หาอนุพันธ์ของ$1/(1-x)$ แล้วคูณด้วย $x$.