วิธีคำนวณความยาวส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ที่เอียงกับเส้นศูนย์สูตรที่ $\phi°$ แตกออกเป็น $12$ ส่วนโค้งตามลองจิจูด $30°$ ห่างกัน?

Aug 17 2020

วงกลมใหญ่อยู่ที่ $\phi°$ความโน้มเอียงไปที่เส้นศูนย์สูตร ลองจิจูด$30°$ แยกออกจากกันซึ่งแบ่งเส้นศูนย์สูตรเป็น $12$ ส่วนโค้งของขนาดเท่ากัน (รัศมีของโลก$*30$). ส่วนโค้งที่สอดคล้องกันบนวงกลมใหญ่ที่เอียงจะมีความยาวผันแปรได้ วิธีคำนวณมุมย่อยสำหรับทุกคน$12$ โค้ง?


สิ่งที่ฉันจัดการเพื่อหาข้อมูล:

  1. นี่คือแผนภาพ: คำอธิบายปัญหา

  2. $\phi =$ ละติจูดของจุดต่ำสุดและสูงสุดของวงกลมใหญ่ (โดยไม่สนใจสัญญาณเช่น $+/-$).

  3. ความยาวส่วนโค้งของวงกลมทั้งสองสำหรับ $90°$ มุมที่ระบุไว้จะเท่ากับหนึ่งในสี่ของเส้นรอบวง

  4. พยายามแก้ด้วยกฎ Haversine & กฎไซน์สำหรับตรีโกณมิติทรงกลมแต่เมื่อตั้งโปรแกรมผลรวมของ$12$ ส่วนโค้งไม่เท่ากันกับเส้นรอบวงของโลก


แรงจูงใจ:

มุมย่อยของส่วนโค้งจะแตกต่างกันไปตามละติจูดและลองจิจูด การคำนวณนั้นมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับซอฟต์แวร์โหราศาสตร์ที่ฉันกำลังพยายามสร้างขึ้น ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับความช่วยเหลือ!

คำตอบ

OscarLanzi Aug 17 2020 at 20:11

มันอาจจะดีกว่าถ้าคำนวณความยาวส่วนโค้ง cumulatrd

ปล่อย $A$ เป็นจุดที่ส่วนโค้งชนเส้นศูนย์สูตรและ $B$ เป็นจุดที่คุณย้ายจาก $A$. เพราะ$A$ อาจเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งจากสองจุดเราอาจถือว่าโดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไปไปกว่า $B$ ถูกแทนที่โดย $\le 180°$ ลองจิจูดจาก$A$. เรียกว่าการกระจัดลองจิจูด$\theta$.

วาด $\triangle ABP$ ที่ไหน $P$เป็นเสาอย่างใดอย่างหนึ่ง แล้ว$\angle P$ มาตรการ $\theta$, โค้ง $AP$ วัดได้ 90 °และ $\angle A$ มาตรการ $90°-\phi$.

ในการแก้สามเหลี่ยมโดยทั่วไปฉันชอบทำงานกับโคไซน์แทนไซน์ ฟังก์ชันโคไซน์เป็นแบบโมโนโทนิคและให้ค่าผกผันที่ชัดเจนตลอดทาง$0°$ ถึง $180°$ในขณะที่ฟังก์ชันไซน์จะกลับมาเป็นสองเท่าเมื่ออาร์กิวเมนต์ผ่านไป $90°$. ลองดูกฎโคไซน์ เมื่อคุณมีสองมุมและด้านที่รวมไว้ที่นี่กฎข้อที่สองของโคไซน์จะทำงานได้ดีที่สุด สำหรับสามเหลี่ยมนี้กฎให้สิ่งต่อไปนี้สำหรับมุมที่สาม$\angle B$:

$\cos \angle B = -\cos \angle A\cos \angle P+\sin \angle A\sin \angle P\cos AP$

นี่เทอมที่สองทางขวาเป็นศูนย์ออกเป็น $AP$ มาตรการ $90°$. เสียบมุมที่ทราบด้านบนแล้วแสดงผล

$\cos \angle B = -\sin \phi\cos \theta$

จากนั้นเราใช้กฎหมายเดียวกันอีกครั้งคราวนี้กับ $\angle P$ ทางด้านซ้าย:

$\cos \angle P = -\cos \angle A\cos \angle B+\sin \angle A\sin \angle B\cos AB$

การแทนค่าที่ทราบและใช้ความจริงที่ว่า $\sin u =+\sqrt{1-\cos^2 u}$ สำหรับ $0\le u\le 180°$, เราได้รับ

$\cos \theta = \sin^2 \phi\cos\theta+(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

$\cos^2 \phi\cos\theta=(\cos \phi)(\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta})(\cos AB)$

และสูตรนี้สำหรับความยาวส่วนโค้ง $AB$:

$\color{blue}{\cos AB = \dfrac{\cos \phi\cos \theta}{\sqrt{1-\sin^2\phi\cos^2\theta}}} (0°\le\theta\le 180°)$