วิธีที่ถูกต้องในการเขียนการคูณระหว่างสเกลาร์กับเวกเตอร์คืออะไร?

Question

กฎของการคูณเมทริกซ์ระบุว่าจำนวนคอลัมน์ของตัวถูกดำเนินการด้านซ้ายเท่ากับจำนวนแถวของตัวถูกดำเนินการด้านขวา

$M*N$ ถ้า M มี $n$ คอลัมน์และ N ควรมี $n$ แถว

ตามหลักการนี้วิธีธรรมชาติในการเขียนการคูณระหว่างเวกเตอร์และสเกลาร์คือการใส่เวกเตอร์ทางด้านซ้าย - โดยใช้สเกลาร์เป็นเมทริกซ์ 1 คูณ 1

อย่างไรก็ตามฉันพบว่าบ่อยครั้งที่ผู้คนไม่ปฏิบัติตามกฎข้างต้น: โดยใช้การสลายตัวของลักษณะเฉพาะเป็นตัวอย่าง:

วิกิของการสลายตัวของ eigen

$A\upsilon=\lambda\upsilon$

มีกฎง่ายๆที่จะชี้แนะเราว่าเมื่อใดที่เราควรใส่สเกลาร์ทางด้านซ้าย?

Answer 1

การคูณสเกลาร์และการคูณเมทริกซ์คือ 2 การดำเนินการแยกกัน แม้ว่าจะมีคำว่า "การคูณ" เหมือนกัน แต่ก็แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง

การคูณเมทริกซ์ไม่ใช่การสับเปลี่ยนดังนั้นคุณต้องวางเมทริกซ์ที่ถูกต้องทางด้านขวามันไม่เกี่ยวกับอนุสัญญา สเกลาร์เป็นแบบสับเปลี่ยนและคุณสามารถวางไว้ด้านใดด้านหนึ่ง

ฉันไม่คิดว่าจะมีแบบแผนเป็นลายลักษณ์อักษรต่อผู้คนคุ้นเคยกับการใส่สัมประสิทธิ์ก่อนคำศัพท์อื่น ๆ หากคุณใส่สเกลาร์ทางด้านขวาขึ้นอยู่กับสาขาที่คุณกำลังทำงานในบางคนที่อ่านนิพจน์ของคุณอาจหยุดและคิดว่า "เดี๋ยวก่อนเดี๋ยวก่อนเรากำลังทำงานกับพีชคณิตแบบไม่สับเปลี่ยนหรือไม่" สักครู่. นอกจากนี้บางคนอาจคิดว่า "หึนี่เกลาหรือฉันพลาดอะไรไป" อาจต้องใช้รอบสมองเพิ่มขึ้นสำหรับผู้อ่านดังนั้นฉันจะเก็บสเกลาร์ไว้ทางซ้าย แต่มันอาจจะไม่เป็นโศกนาฏกรรมถ้าคุณวางไว้อีกด้านหนึ่ง

แม้ว่าจะเป็นไปได้ที่จะเลียนแบบการคูณสเกลาร์โดยใช้$1\times n$ หรือ $n \times 1$เมทริกซ์ - นั่นไม่ใช่สิ่งที่เป็นสาระสำคัญ อีกครั้ง - นี่คือการดำเนินการที่แตกต่างกันและมีเพียงหนึ่งในการสับเปลี่ยน

Answer 2

นี่เป็นเพียงเรื่องของอนุสัญญาสัญกรณ์ โดยปกติแล้วสัจพจน์ของปริภูมิเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยการเขียนการคูณสเกลาร์ในรูปแบบ$$\lambda \cdot v$$ ที่ไหน $v \in V$ และ $\lambda$ เป็นของภาคพื้นดิน $K$. เหตุผลก็คือเรามักจะเข้าใจว่าในผลิตภัณฑ์$\mu \cdot \lambda$ ขององค์ประกอบของ $K$เรามีปัจจัยแรก$\mu$และปัจจัยที่สอง$\lambda$. ในฟิลด์ (ซึ่งการคูณเป็นการสับเปลี่ยน) ลำดับของปัจจัยดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้อง (เพราะ$\mu \cdot \lambda = \lambda \cdot \mu$) แต่อยู่ในวงแหวน $R$(ซึ่งการคูณโดยทั่วไปไม่ใช่การสับเปลี่ยน) ลำดับเป็นสิ่งสำคัญ สิ่งนี้ใช้เช่นกับวงแหวนของ$n\times n$- เมตริกซ์มากกว่าสนาม หนึ่งในสัจพจน์ของปริภูมิเวกเตอร์คือ$$(\mu \cdot \lambda) \cdot v = \mu \cdot (\lambda \cdot v)$$ ซึ่งง่ายกว่าสูตรเดียวกันที่เขียนโดยการคูณสเกลาร์ทางด้านขวา $$v \cdot (\mu \cdot \lambda) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$ โอเคสำหรับสนามสิ่งนี้ไม่ได้สร้างความแตกต่างมากนักเนื่องจากมันบอกว่าเหมือนกับ $$v \cdot (\lambda \cdot \mu) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$แต่โปรดทราบว่าแนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์สามารถนำไปใช้กับโมดูลบนวงแหวนได้$R$และนี่คือคำสั่งสร้างความแตกต่าง ในความเป็นจริงมีความแตกต่างระหว่างด้านซ้ายและด้านขวา$R$- โมดูล สำหรับด้านซ้าย$R$-muodules หนึ่งมักจะเขียนสเกลาร์ mutliplication เป็น $\lambda \cdot v$ถูกต้อง $R$- โมดูลเป็น $v \cdot \lambda$. ดูที่นี่ .

ตอนนี้ให้เรามาถึงหัวใจหลักของคำถามของคุณ ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์$A \bullet B$ มักจะกำหนดไว้สำหรับไฟล์ $m\times n$ เมทริกซ์ $A$ และ $n\times p$ เมทริกซ์ $B$กล่าวคือเราต้องการให้จำนวนคอลัมน์ของ $A$ เท่ากับจำนวนแถวของ $B$. อย่างที่คุณพูดสเกลาร์$\lambda$ สามารถถือได้ว่า $1 \times 1$ เมทริกซ์ $(\lambda)$. ดังนั้นจึงมีการกำหนดสองนิพจน์ต่อไปนี้:$$(\lambda) \bullet A \text{ for } 1 \times n \text{ matrices } A \tag{1} $$ $$A \bullet (\lambda) \text{ for } n \times 1 \text{ matrices } A \tag{2} $$ ใน $(1)$ $A$เรียกว่าเวกเตอร์แถวใน$(2)$เวกเตอร์คอลัมน์

ดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับสัญกรณ์ที่คุณชื่นชอบ: หากคุณพิจารณาองค์ประกอบของ $K^n$ เป็นเวกเตอร์แถวคุณต้องใช้ $(1)$ถ้าคุณถือว่ามันเป็นเวกเตอร์คอลัมน์คุณต้องเขียน $(2)$.

อย่างไรก็ตามนี่จะเกี่ยวข้องก็ต่อเมื่อคุณยืนยันว่าจะเข้าใจผลคูณสเกลาร์ของ$\lambda$ และ $A$เป็นผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ โดยปกติสำหรับ$A = (a_{ij})$ หนึ่งเพียงแค่กำหนด $$ \lambda \cdot (a_{ij}) = (\lambda \cdot a_{ij}) .$$ การทำเช่นนี้ไม่สำคัญว่าคุณจะคำนึงถึงองค์ประกอบของ $K^n$ เป็นเวกเตอร์แถวหรือเวกเตอร์คอลัมน์