อะไรคือความแตกต่างระหว่างสองคำตอบของคำถามความน่าจะเป็นนี้?

Question

ปัญหา: ลูกบอลที่เหมือนกัน 8 ลูกจะถูกสุ่มในสามถุง ความน่าจะเป็นที่ถุงแรกจะมีลูกบอล 3 ลูกคืออะไร?

วิธีแก้ปัญหาที่ฉันคิดขึ้นมา: เราสามารถกระจายลูกบอลที่เหมือนกัน 8 ลูกจาก 3 ถุงที่แตกต่างกันได้ 45 วิธี จากทั้งหมด 45 วิธีใน 6 วิธีถุงแรกจะมีลูกบอล 3 ลูก ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ$\frac{6}{45} = \frac{2}{15} = 0.13333$

แต่ด้วยการแจกแจงแบบทวินามและนี่คือวิธีที่คนส่วนใหญ่ (ใน Quora) แก้ไขคำถามนี้และวิธีนี้ดูเหมือนจะใช้งานง่ายด้วยเช่นกันความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจะถูกวางในกระเป๋าใบแรกคือ 13 ว่าลูกบอล 3 จาก 8 ลูกจะลงเอยในถุงแรกโดยใช้การแจกแจงแบบทวินาม:

8C3 x (1/3)^3 x (1 - 1/3)^5 = 0.273

ฉันแค่อยากรู้ว่าทำไมคำตอบจากสองวิธีนี้ถึงแตกต่างกันมาก?

Answer 1

ปัญหากล่าวว่าลูกบอลถูกวางแบบ "สุ่ม" แต่ไม่ได้ระบุการกระจายแบบสุ่มหรือกระบวนการที่จะวางลูกบอลเหล่านั้น คำตอบขึ้นอยู่กับข้อมูลนั้นแน่นอน ตัวอย่างเช่น:

• หากรายชื่อคนทั้งหมด 45 วิธีการที่ลูกจะจบลงแล้วเลือกหนึ่งในบรรดา 45 วิธีสม่ำเสมอที่สุ่มแล้วคำตอบคือ$2/15$ อย่างที่คุณพูด
• หากอิสระแต่ละลูกบอลอยู่ในหนึ่งในสามถุงสม่ำเสมอที่สุ่มแล้วคำตอบคือ$1792/6561$ ตามที่ Quora ตอบ

นี่ไม่ใช่ความเป็นไปได้เพียงสองอย่าง หากมีคนพลิกเหรียญและวางลูกบอลทั้งหมดไว้ในถุงแรกหากเหรียญเป็นหัวและใส่เหรียญทั้งหมดในถุงที่สองถ้าเหรียญเป็นหางแสดงว่ายังคงวางลูกบอล "สุ่ม" แต่คำตอบของ คำถามจะเป็น$0$.

เราจำเป็นต้องระบุการแจกแจงความน่าจะเป็นเสมอ หากเราตั้งใจให้ลูกบอลวางในถุงอย่างสม่ำเสมอและเป็นอิสระเราควรพูดแบบนั้น (แม้ว่าจะเป็นการคาดเดาที่ดีที่สุดสำหรับความตั้งใจของผู้เขียนก็ตาม)