อะไรคือสมการมาตรฐานสำหรับการเปลี่ยนแปลงพิกัดคาร์ทีเซียนใน $\mathbb{R}^2$เหรอ?

Aug 17 2020

ฉันกำลังดำเนินการในส่วนแรกของ Boothby's Introduction to Differentiable Manifoldsและหนึ่งในแบบฝึกหัดอ่านดังนี้:

ใช้สมการมาตรฐานสำหรับการเปลี่ยนแปลงพิกัดคาร์ทีเซียนตรวจสอบว่า $\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1m_2}$, ที่ไหน $m_1, m_2$ คือความชันของสองเส้นไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกพิกัด

มีการกล่าวถึงว่าสิ่งนี้สามารถทำได้โดยการพิสูจน์ว่าค่าของมันเป็นเพียงแทนเจนต์ของมุมระหว่างสองบรรทัด แต่ฉันเชื่อว่าแบบฝึกหัดไม่ได้หมายถึงการทำให้เสร็จสมบูรณ์ด้วยวิธีนี้

ฉันไม่คุ้นเคยกับสมการมาตรฐานสำหรับการเปลี่ยนพิกัดคาร์ทีเซียน ดูเหมือนว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงพิกัดใน$\mathbb{R}^2$ จะเป็นการเปลี่ยนแปลงใด ๆ แม้ว่าฉันไม่แน่ใจในเรื่องนี้

คำถามของฉันคือสมการมาตรฐานสำหรับการเปลี่ยนแปลงพิกัดคาร์ทีเซียนคืออะไร?

คำตอบ

J.G. Aug 18 2020 at 22:32

เนื่องจากการไล่ระดับสีไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลเราจึงอาจสันนิษฐานได้โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไปว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทั้งสองระบบมีต้นกำเนิดเดียวกันและแต่ละบรรทัดจะผ่านจุดกำเนิดร่วมกันนั้น การเปลี่ยนแปลงจากพิกัด$x,\,y$ ไปยังพิกัด $X,\,Y$ พอใจ$$X=x\cos\theta-y\sin\theta,\,Y=x\sin\theta+y\cos\theta$$สำหรับบางคน $\theta\in\Bbb R$. ถ้า$y=mx$ และ $Y=nX$,$$0=x\sin\theta+mx\cos\theta-nx\cos\theta+nmx\sin\theta\implies n=\frac{m+\tan\theta}{1-m\tan\theta}.$$สุดท้าย$$\frac{\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}-\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}}{1+\frac{m_1+\tan\theta}{1-m_1\tan\theta}\frac{m_2+\tan\theta}{1-m_2\tan\theta}}=\frac{\left(m_{2}-m_{1}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}{\left(1+m_{1}m_{2}\right)\left(1+\tan^{2}\theta\right)}=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}.$$ในการปิดท้ายเป็นที่น่าสังเกตว่าคำขอของ Boothby ในการใช้การเปลี่ยนแปลงพิกัดคาร์ทีเซียนไม่เพียง แต่ทำให้เรามีงานทำมากเกินความจำเป็นเท่านั้น แต่ยังทำให้ผลลัพธ์สุดท้ายดูเหมือนอุบัติเหตุ มันไม่ใช่. การเขียน$m_1=\tan\theta_1$ ฯลฯ $\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}=\tan(\theta_2-\theta_1)$ดังนั้นผลลัพธ์จึงตามมาจากความไม่แปรผันของมุมในระนาบ

DanielN Aug 18 2020 at 22:12

หากคุณมีระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองระบบ $Oxy$ และ $\Omega\xi\eta$จากนั้นสมการที่เกี่ยวข้องคือ $$ \begin{pmatrix}\xi \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\xi(O) \\ \eta(O) \end{pmatrix}, $$ ที่ไหน

  1. เมทริกซ์ $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ invertible และ
  2. $\xi(O)$ และ $\eta(O)$ คือพิกัดของ $O$ ในระบบพิกัดที่สอง