อัตราส่วนของพหุนามและอนุพันธ์ภายใต้ฟังก์ชันเฉพาะ

Question

ปล่อย $p(x)$ เป็นพหุนามระดับ $n>2$ด้วยราก $x_1,x_2,\dots,x_n$(รวมถึงหลายหลาก) ปล่อย$m$เป็นจำนวนเต็มบวก กำหนดการแมปต่อไปนี้$$V_m(p)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^m.$$

คำถาม. สำหรับ$\deg p(x)=n>2$ และ $p'(x)$ อนุพันธ์ของมันคุณสามารถแสดงได้ไหม $$\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$$ เป็นหน้าที่ของ $m$ และ $n$ คนเดียว?

ข้อสังเกต. ได้รับแจ้งจากคำถามของ Fedor ในฐานะงานแสดงที่ฉันเพิ่งคำนวณ (ไม่ได้รับการพิสูจน์)$$\frac{V_2(p)}{V_2(p')}=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}.$$

Answer 1

นี่คือรหัส SageMathที่ให้ฟังก์ชันการV(m)คำนวณ$V_m(p)$ ในแง่ของฟังก์ชันสมมาตรเบื้องต้นของ $x_1,\dots,x_n$ (คือสัมประสิทธิ์ของ $p$).

ตัวอย่างเช่นถ้า $p(x) = x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} + \dots$แล้ว $$V_2(p) = (n-1)e_1^2 - 2n e_2,$$ $$V_4(p) = (n-1) e_1^4 - 4n e_2 e_1^2 + (2n+12)e_2^2 + (4n-12) e_3 e_1 - 4n e_4,$$ และอื่น ๆ

จากการแสดงออกเหล่านี้เป็นข้อพิสูจน์สำหรับ $m=2$ตามมาทันที อย่างไรก็ตามสำหรับขนาดใหญ่$m$ วิทยุ $\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$ ดูเหมือนจะไม่เป็นหน้าที่ของ $n$ซึ่งฉันได้ทดสอบการคำนวณสำหรับ $m$ จนถึง $20$.

Answer 2

ถ้าเป็นเช่นนั้นจริง $V_m(p)/V_m(p'')=(V_m(p)/V_m(p'))\times(V_m(p')/V_m(p''))$ ยังจะขึ้นอยู่กับเท่านั้น $m$ และ $n=\deg p$และอื่น ๆ จนกว่าเราจะได้รับ $V_m(p)/V_m(p^{(n-2)})$. เรามี$$V_m(p^{(n-2)})=V_m\left(\frac{n!}2x^2-(n-1)!\left(\sum x_i\right)x+(n-2)!\sum_{i<j} x_ix_j\right)=c_{nm}\left((n-1)\left(\sum x_i\right)^2-2n\sum_{i<j}x_ix_j\right)^{m/2}=\tilde{c}_{nm} V_2(p)^{m/2}.$$ ดังนั้นถ้าเป็นจริงเราก็จะได้ $V_m(p)=C_{nm} (V_2(p))^{m/2}$. นี่เป็นเท็จสำหรับ$n=m=4$: ถ้ารากทั้งหมดของ $p$ คือ 0 และ 1 เรามี $V_4=V_2$แต่ $V_2^2/V_4=V_2$ ไม่ได้รับการแก้ไข