เอกลักษณ์ของการแก้ปัญหาสำหรับ PDE ลำดับที่หนึ่งเชิงเส้นเป็นเนื้อเดียวกันขอบเขต - มูลค่า
พิจารณา PDE ที่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง
$$L u \equiv \left( \sum_{i = 1}^d f^i(x) \frac{\partial}{\partial x^i} + c(x) \right) u(x) = 0$$
บนโดเมนขนาดกะทัดรัด $\Omega \subset \mathbb{R}^d$. แน่นอนว่าระบบนี้มักจะมี$u = 0$เป็นทางออก; คำถามของฉันคือเงื่อนไขประเภทใดเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์$f^i(x)$ และ $c(x)$ เพียงพอที่จะรับประกันว่าโซลูชันศูนย์ไม่ซ้ำกันภายใต้เงื่อนไขขอบเขต $u|_{\partial \Omega} = 0$.
ฉันรู้ว่าโดยปกติแล้วความเป็นไปได้ที่ดีของ PDE ลำดับที่หนึ่งมักจะถูกศึกษาผ่านวิธีการของคุณลักษณะ แต่อย่างที่ฉันเข้าใจโดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้มีประโยชน์ในการคิดว่า PDE เป็นปัญหาค่าเริ่มต้นซึ่งเงื่อนไขขอบเขตถูกระบุไว้บนพื้นผิวค่าเริ่มต้นและ วิวัฒนาการมาจากที่นั่น เพราะที่นี่ฉันถือว่าระบบเป็นปัญหา Dirichlet ซึ่งเป็นปัญหาที่เกิดจากธรรมชาติ$Lu = g$, $u|_{\partial \Omega} = h$โดยทั่วไปอาจไม่ได้รับการวางตัวที่ดี แต่ก็ไม่เป็นไรเพราะฉันแค่สนใจเกี่ยวกับเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหาที่เป็นศูนย์สำหรับปัญหาที่เป็นเนื้อเดียวกัน
ฉันมีผลลัพธ์บางส่วนจาก Oleinik และ Radkevic (https://www.springer.com/gp/book/9781468489675) ซึ่งพิจารณา PDE เชิงเส้นลำดับที่สองที่มีรูปแบบลักษณะที่ไม่เป็นค่าลบซึ่งสมการที่ฉันให้ไว้ข้างต้นเป็นกรณีพิเศษ (เนื่องจากรูปแบบลักษณะเป็นศูนย์เหมือนกัน) จากเช่นทฤษฎีบท 1.6.2 ของหนังสือเล่มนี้ฉันสามารถสรุปได้ว่าโซลูชันศูนย์ไม่ซ้ำกันถ้า$c^* < 0$ ใน $\Omega \cup \partial \Omega$, ที่ไหน $c^* \equiv c - \sum_{i = 1}^d \partial_i f^i$ คือพจน์ศูนย์อนุพันธ์ของ adjoint $L^*$ ของ $L$. แต่เนื่องจากผู้ประกอบการ$L$ ฉันสนใจเกี่ยวกับตัวดำเนินการลำดับแรกอย่างแท้จริงในขณะที่เงื่อนไข $c^* < 0$ มาจากการพิจารณาตัวดำเนินการลำดับที่สองฉันคิดว่าจะต้องมีเงื่อนไขทั่วไปที่เพียงพอสำหรับความเป็นเอกลักษณ์ของโซลูชันศูนย์มากกว่าเพียง $c^* < 0$.
คำตอบ
วิธีการแสดงลักษณะเป็นวิธีที่ถูกต้องในการแก้ปัญหานี้ ตามเส้นทางที่ตอบสนอง${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$หนึ่งพบ $u(\vec{x}(t))$ วิวัฒนาการตาม ${\rm d}u/{\rm d}t = -c u$. หากเส้นทางสิ้นสุดที่$\partial\Omega$แล้ว $u(x) = 0$ตลอดเส้นทาง สิ่งนี้นำไปสู่เงื่อนไขที่จำเป็นประการแรกของเราสำหรับการมีอยู่ของโซลูชันที่ไม่ใช่ศูนย์:
(1) $\exists$ เส้นทาง $\vec{x}(t)$ น่าพอใจ ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ ที่มีต้นกำเนิดและปลายทาง (จำกัด เป็น $t \rightarrow \pm\infty$) ในการตกแต่งภายในของ $\Omega$.
อย่างต่อเนื่อง $u(\vec{x})$, คุณค่าของ $u(\vec{x}(t))$ ไม่สามารถแยกความแตกต่างได้เมื่อ $t \rightarrow \pm\infty$. ทุกเส้นทางยกเว้นเซตของการวัด$\vec{x}(t)$เริ่มต้นที่ตัวขับไล่และสิ้นสุดที่ตัวดึงดูด (แทนที่จะพูดว่าจุดอาน) ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นอีกสองประการสำหรับการมีอยู่ของโซลูชันที่ไม่ใช่ศูนย์คือ:
(2) $c < 0$ ที่ $\vec{x}(-\infty)$
(3) $c > 0$ ที่ $\vec{x}(+\infty)$
ยกเว้นเซตของศูนย์การวัดเราอาจถือว่าอสมการเหล่านี้เข้มงวดได้เช่น $c < 0$ และ $c > 0$ตามลำดับ (การลู่เข้าเป็นไปได้สำหรับ $c = 0$แต่ไม่รับประกันขึ้นอยู่กับเงื่อนไขอนุพันธ์) ด้วยความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวดเงื่อนไข (1-3) ก็เพียงพอสำหรับการแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์$u(\vec{x})$ออก. ที่สามารถมองเห็นได้ดังต่อไปนี้:
เริ่มต้นด้วยจุด $\vec{x}_0$ ตามเส้นทาง $\vec{x}(t)$กำหนดขนาด -$\epsilon$ ภาพตัดขวาง (ตั้งฉากกับความคล่องตัวของ ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$) และวางสิ่งนั้น $u(\vec{x})$ แตกต่างกันไปอย่างราบรื่นจาก $u(x_0) = 1$ ถึง $u = 0$ที่ขอบเขตของส่วนตัดขวาง คุณค่าของ$u(\vec{x})$ ตาม "อดีต" และ "อนาคต" ของส่วนตัดขวางนี้ได้มาจากการขยายพันธุ์ตามลักษณะโดยใช้ ${\rm d}u/{\rm d}t = -c u$. ลักษณะทั้งหมดนี้มีต้นกำเนิดมาจากตัวขับไล่เดียวกัน (โดยที่$u = 0$) และสิ้นสุดที่ตัวดึงดูดเดียวกัน (เช่นกันโดยที่ $u = 0$). กรอกข้อมูลในส่วนที่เหลือ$\Omega$ ด้วยโซลูชัน null $u = 0$. ดังนั้นเราจึงได้สร้างโซลูชันที่ไม่มีค่าเป็นศูนย์และมีมูลค่าต่อเนื่องสำหรับ PDE
มีกรณีขอบเอกพจน์จำนวนมากที่เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอไม่ตรงกันเช่น if $\lVert f \rVert = u = 0$ ในจุดเดียวกัน (แก้ไขได้โดยการปรับขนาดใหม่ $f$ และ $u$), ถ้า $\lVert f\rVert = 0$ ในส่วนย่อยที่เปิดอยู่ของ $\Omega$, ถ้า $\lVert f\rVert = 0$ บนขอบเขต $\partial\Omega$, ถ้า $c = 0$ ที่ $\vec{x}(\pm\infty)$. ในพื้นที่ของฟังก์ชันที่เป็นไปได้$(\vec{f}, u)$กรณีเอกพจน์เหล่านี้เกิดขึ้นในชุดของศูนย์การวัดเท่านั้นจึงไม่น่าสนใจมากนัก เกือบทุกที่เงื่อนไข (1-3) มีทั้งที่จำเป็นและเพียงพอ
อีกวิธีหนึ่งเราสามารถพูดได้ (เกือบทุกที่) ว่าโซลูชันศูนย์ไม่ซ้ำกันถ้า:
$\forall$ เส้นทาง $\vec{x}(t)$ น่าพอใจ ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ มีต้นกำเนิดและจุดสิ้นสุดในการตกแต่งภายในของ $\Omega$,
$c > 0$ ที่ $\vec{x}(-\infty)$ หรือ $c < 0$ ที่ $\vec{x}(+\infty)$.
กลับมาสู่สภาพของคุณ $c^* < 0$: โปรดทราบว่า $\partial_i f^i < 0$ที่ตัวดึงดูด (สิ่งนี้จะถือเสมอไม่ว่าจะเป็นโหนดวงจร จำกัด toroid ตัวดึงดูดวุ่นวาย ฯลฯ ) ดังนั้นถ้า$c^* < 0$ บน $\Omega$ก็เป็นไปตามนั้น $c = c^* + \partial_i f^i < 0$ที่ดึงดูดทั้งหมด ดังนั้นเงื่อนไขที่สองข้างต้นจะพึงพอใจเสมอเมื่อ$c^* < 0$. The condition above is the more general sufficient (and necessary) condition for uniqueness (with the caveats noted above).
Since any dynamical system can be represented by ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ and dynamical systems can be really, really complicated, the general condition can be hard to work with, so more specific conditions like $c^* < 0$ might be more useful.
Also, defining the value of $c$ is tricky when the attractor / repulsor isn't a point. Taking the average over limit cycles is straightforward, chaotic attractors less so (ergodic theory).