อนุพันธ์ของ Covariant และ Controvariant

Question

วิธีการแสดงนั้น

$\overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial_\mu \overrightarrow{\textbf{e}}_\nu = \overrightarrow{\textbf{e}}_\sigma\cdot\partial^\mu \overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$

ที่ไหน $\overrightarrow{\textbf{e}}_\nu$ และ $\overrightarrow{\textbf{e}^\nu}$ เป็นพื้นฐานและเวกเตอร์พื้นฐานคู่ของท่อต่างๆหรือไม่?

ข้อเสนอแนะใด ๆ ?

ขอบคุณ!

Answer 1

คุณพบคำกล่าวอ้างนี้ที่ไหน นิพจน์แรก${\bf e}_\sigma\cdot \partial_\mu{\bf e}_\nu$ไม่ใช่ covaraint ถ้ามีคนเขียนแทน${\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu$ มันสมเหตุสมผลแล้วเพราะสัญลักษณ์ Christoffel ถูกกำหนดโดย $$ \nabla_\mu {\bf e}_\nu = {\bf e}_\tau {\Gamma^\tau}_{\nu\mu} $$ ให้

$$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla_\mu{\bf e}_\nu= g_{\sigma\alpha} {\Gamma^\alpha}_{\nu\mu} $$ และด้วย $\nabla^\mu = g^{\mu\alpha}\nabla_\alpha $ และด้วยการกระทำของอนุพันธ์โควาเรียนกับโคเวอเตอร์ $\nabla_\alpha {\bf e}^\nu= - {\bf e}^{\tau}{\Gamma^\nu}_{\tau\mu}$ เราได้รับ $$ {\bf e}_\sigma\cdot \nabla^\mu{\bf e}^\nu = {\bf e}_\sigma (- {\bf e}^{\tau}){\Gamma^\nu}_{\tau\beta}g^{\beta\mu}=-{ \Gamma^\nu}_{\sigma \beta}g^{\beta\mu}. $$ ดังนั้นพวกมันจึงแตกต่างกันอย่างน้อยก็มีเครื่องหมายลบ

(ขออภัยที่ฉันแก้ไขอยู่เรื่อย ๆ - ฉันทำผิดพลาดโง่ ๆ อยู่เรื่อย ๆ )