อสมการเชิงอนุพันธ์เกี่ยวกับการเปรียบเทียบปริมาตร
ปล่อย $(M,g)$ จะสมบูรณ์ $n$- หลายมิติ Riemannian และปล่อยให้ $p \in M$. พิจารณา$(t,\Theta)$ พิกัดทางภูมิศาสตร์ทรงกลมรอบ ๆ $p$, ที่ไหน $t \in (0,\text{conj}_p(\Theta))$ และ $\Theta$ เป็นเวกเตอร์หน่วยใน $T_pM$. ปล่อย$A_p(t,\Theta)$เป็นความหนาแน่นของการวัดปริมาตรในพิกัดเหล่านี้เช่น \ begin {สมการ *} d \ operatorname {Vol} = A_p (t, \ Theta) dt d \ Theta \ end {สมการ *} ทฤษฎีบทของรัฐ Gromov ว่าถ้า$\operatorname{Ric}(M) \geqslant (n-1)\kappa$จากนั้นแผนที่ \ เริ่มต้น {สมการ} t \ mapsto \ frac {{A} _p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-1} _ {\ kappa} (t)} \ end {สมการ} ไม่ใช่ - เพิ่มขึ้นใน$t$. เหมือนอย่างเคย,$sn_{\kappa}$ให้โดย \ begin {align *} sn _ {\ kappa} (t) = \ begin {cases} \ frac {\ sin {\ sqrt {k} t}} {\ sqrt {k}} & k> 0 \\ t & k = 0 \\ \ frac {\ sinh {\ sqrt {-k} t}} {\ sqrt {-k}} & k <0 \ end {cases} \ end {align *} ตอนนี้ฉันต้องการ พิสูจน์ผลลัพธ์ที่คล้ายกันเมื่อความโค้งส่วนของ$M$มีขอบเขตจากด้านบน นั่นคือถ้า$ \text{sec}(M) \leqslant \kappa$แล้ว
\ start {สมการ *} \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ ขวา) + \ kappa \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ right) \ geqslant 0 \ end {สมการ *} I ' m พยายามเลียนแบบข้อโต้แย้งที่ Gromov ให้$\varphi(t) = A_p(t,\Theta)^{\frac{1}{n-2}}$ และคำนวณว่า $(\log \varphi(t))' = \frac{1}{n-2}\text{tr}(\text{II}(t))$, ที่ไหน $\text{II}(t)$ เป็นรูปแบบพื้นฐานที่สองของ $\partial B(p,t)$. แต่เนื่องจากเราไม่ได้พิสูจน์คำแถลงเกี่ยวกับความน่าเบื่อฉันจึงไม่รู้ว่าฉันจะกำจัดพลังได้อย่างไร$(n-2)$. การแสดงความแตกต่างโดยตรงนั้นดูน่ากลัวและน่าเบื่อและฉันเชื่อว่ามีทางลัดสำหรับปัญหาเนื่องจากมันคล้ายกับค่าประมาณของบรรทัดฐานของเขตข้อมูลจาโคบี ความเข้าใจในปัญหาจะได้รับการชื่นชม
$\textbf{Update}$: เมื่อวันก่อนฉันคิดว่าฉันมีวิธีแก้ปัญหา แต่หลังจากตรวจสอบอีกครั้งฉันไม่คิดว่าจะได้ผล นี่คือสิ่งที่ฉันทำ:$$\varphi(t) = \frac{A_p(t,\Theta)}{sn^{n-2}_{\kappa}(t)}$$ สามารถใช้เคล็ดลับแคลคูลัส $\varphi'(t) = (\log{\varphi(t)})'\varphi(t) $ในการคำนวณว่า \ start {align *} \ varphi '(t) & = (\ log \ varphi (t))' \ varphi (t) \\ & = (\ log A_ {p} (t, \ Theta) - (n-2) \ log sn _ {\ kappa} (t)) '\ varphi (t) \\ & = [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] \ varphi (t) \ end {align *} และ \ start {align *} \ varphi' '(t) & = ((\ log \ varphi (t)) '\ varphi (t))' \\ & = (\ log \ varphi (t)) '' \ varphi (t) + [(\ log \ varphi (t)) '] ^ 2 \ varphi (t) \\ & = \ {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t) } {sn _ {\ kappa} (t)}] '+ [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 \} \ varphi (t) \ end {align *} โปรดทราบว่า$\varphi(t)$ ไม่เป็นลบเมื่อ $t$มีขนาดเล็กดังนั้นเพื่อที่จะแสดงให้อสมการเดิมเป็นจริงจึงเพียงพอที่จะแสดงว่า \ begin {สมการ *} [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac { sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}]' + [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {สมการ *}
เรียกคืนค่าประมาณเปรียบเทียบที่สอง (cf Peterson หน้า 145 Cor 2.4) ระบุว่าถ้าความโค้งของส่วนถูกล้อมรอบด้านบน $\kappa$จากนั้นแต่ละองค์ประกอบของรูปแบบพื้นฐานที่สองสามารถถูกล้อมรอบจากด้านล่างนั่นคือ \ begin {สมการ *} (\ text {II} (t)) _ {_ {2 \ leqslant \ alpha, \ beta \ leqslant n}} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {k} (t)} {\ text {sn} _ {k} (t)} \ end {สมการ *} ซึ่งทำให้เรา \ begin {สมการ} \ text {tr } (\ text {II} (t)) \ geqslant (n-1) \ frac {\ text {sn} '_ {K} (t)} {\ text {sn} _ {K} (t)} \ แท็ก {$\star \star$} \ end {สมการ} และ \ เริ่ม {สมการ *} \ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t )} \ end {สมการ *} ฉันคิดว่าใส่นิพจน์นี้กลับเข้าไป$\star$จะแก้ปัญหาได้ตั้งแต่ \ เริ่มต้น {สมการ *} (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)})' + ( \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 + \ kappa = 0 \ end {สมการ *} แต่ฉันทำ ความผิดพลาดร้ายแรงโดยการประกาศว่า$f \geqslant g$ หมายถึง $f' \geqslant g'$! ดูเหมือนว่าฉันกลับมาที่กำลังสองแม้ว่าฉันจะมีสีหน้าค่อนข้างดี ข้อมูลเชิงลึกหรือความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชม
คำตอบ
อาจารย์ของฉันจึงให้ความคิดว่าจะแก้ปัญหานี้อย่างไร หลังจากที่เราได้ \ start {สมการ *} \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Part A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {ส่วน B} } + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {สมการ *} เราสามารถใช้สมการของ Riccati เพื่อเขียนใหม่ \ begin {align *} \ text {Part A} = & [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}]' \\ \ geqslant & - \ text {tr} (\ text { II} (t) ^ 2) - (n-1) \ kappa - (n-2) [- (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa] \\ = & - \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) + (n-2) (\ frac {\ ข้อความ {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa \ end {align *} และหลังจากขยายออก$\text{Part B}$, $\star$กลายเป็น \ begin {align *} & \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t) } {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Part A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - ( n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Part B}} + \ kappa \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} (\ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (n-1) (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} ( \ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} \ lambda_ {i} (t) \ lambda_j (t) - [\ lambda_ {i} (t) + \ lambda_ {j} (t)] \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} '+ (\ frac {\ text {sn}' _ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t) }) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} (\ lambda_i (t) - \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} ') (\ lambda_j (t) - \ f rac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}') \\ \ geqslant & 0 \ end {align *} โดยที่$\lambda_{i}(t), i=1,\dots,n-1$ คือค่าลักษณะเฉพาะของ $\text{II}(t)$. ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายเกิดจากการเปรียบเทียบ Hessian ซึ่งระบุไว้ใน Corollary 2.4 ในหนังสือของ Petersen