อสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีค่าขอบเขต

Question

ปล่อย $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ เปิดฟังก์ชันที่แตกต่างกันสองเท่า $(0,1)$ ดังนั้น $f(0)=f(1)=0$ และ $f''+2f'+f \ge 0$

แล้วค่าใดต่อไปนี้ไม่สามารถบรรลุได้โดย $f$ เหรอ?

$(a)\quad \pi$

$(b) \quad e$

$(c) \quad e^{\pi}$

$(d) \quad {\pi}^e$

ความคิดแรกของฉันคือเอาความเท่าเทียมกันเป็นศูนย์

แล้ว $f(x)=(a+bx)e^{-x}$ วิ $a,b$ เป็นค่าคงที่ของอนุญาโตตุลาการ

ด้วยค่าขอบเขตเรามี $a=0=b$ ดังนั้น $f=0$. จึงไม่มีข้อสรุป

รับสมการเชิงอนุพันธ์อีกครั้ง

$f''+2f'+f=e^{\pi x}$

เรามีวิธีแก้ปัญหาทั่วไปเช่น

$f(x)=(a+bx)e^{-x}+\frac{e^{\pi x } }{(\pi+1)^2}$

ด้วยค่าขอบเขต

$a=-\frac 1{(\pi+1)^2}$ และ $b=\frac{e^{\pi+1}}{(\pi+1)^2}+ \frac 1{(\pi+1)^2} $

แต่จะสรุปอะไรได้จากสิ่งนี้?

ฉันสับสนไปหมดตั้งแต่ยังใหม่กับปัญหาประเภทนี้

โปรดช่วยฉันไขข้อข้องใจนี้ ขอบคุณที่สละเวลา.

Answer 1

พิจารณา $g(x)=e^xf(x)$. แล้ว$g(0)=g(1)=0$ และ $g''(x)=e^x(f''(x)+2f'(x)+f(x))\ge 0$. ซึ่งหมายความว่า$g$เป็นฟังก์ชันนูน ตอนนี้จำไว้ว่าเซแคนท์อยู่อย่างไรเมื่อเทียบกับฟังก์ชันนูนเพื่อสรุปสิ่งนั้น$g(x)\le 0$ และด้วยเช่นกัน $f(x)\le 0$ สำหรับ $x\in[0,1]$.