อสมการสำหรับฟังก์ชันของ $\arctan(x)$

Aug 17 2020

ฉันต้องการแสดงให้เห็นว่า $$f(x) = \frac{1}{\arctan(x)} - \frac{1}{x} $$ เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ $(0, \infty)$. ฉันสามารถมองเห็นสิ่งนี้ได้อย่างชัดเจนโดยการวางพล็อต แต่ฉันพยายามที่จะเขียนมันออกมาอย่างเข้มงวด เห็นได้ชัดว่ามันเพียงพอที่จะแสดงว่าอนุพันธ์ของมันเป็นค่าบวกเสมอในช่วงนี้ (ซึ่งชัดเจนจากการวางแผนด้วย) เรามี$$f'(x) = \frac{(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2}{x^2(1+x^2)\arctan^2(x)}$$ อีกครั้งก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า $$g(x) \equiv (1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$(และอีกครั้งสิ่งนี้ชัดเจนจากการวางแผน) ฉันกระโดดลงไปในโพรงกระต่ายของการหาอนุพันธ์ของ$g$ เช่นกัน (เนื่องจากเป็น $0$ ที่ $x = 0$ ดังนั้นมันก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นอีกครั้ง $g' \ge 0$) และมันไม่ได้ให้ประโยชน์อะไรในทันทีสำหรับฉัน กรุณาช่วยถ้าคุณสามารถ

คำตอบ

5 cr001 Aug 17 2020 at 02:58

$${1\over 1+x^2}\ge {1-x^2\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของ $${\arctan(x)}\ge {x\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$ $${2\arctan(x)\over 1+x^2}\ge {2x\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของ $$\arctan^2(x) \ge {x^2\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$

$$(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$

2 PacoAdajar Aug 17 2020 at 03:04

พิจารณาแทน $ \displaystyle g(x) = \arctan{x} - \frac{x^2}{1 + x^2}$. โปรดทราบว่า$g(0) = 0$ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า $g'(x) = 0$ สำหรับ $x \ge 0$.

ตอนนี้ $\displaystyle g'(x) = \frac{2[(1 + x^2)\arctan{x} - x]}{(1 + x^2)^2}$. จึงพอเพียงที่จะพิจารณา$$h(x) = \arctan{x} - \frac{x}{(1 + x^2)},$$ และแสดงว่า $h(x) \ge 0$ สำหรับ $x \ge 0$. แต่$h(0) = 0$และ $$h'(x) = \frac{2x^2}{(1 + x^2)^2} \ge 0$$ เพื่อทุกสิ่ง $x$. การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์