อุดมคติของขอบเขตของ $G/U \subset \overline{G/U}$
ปล่อย $G$ เป็นกลุ่มพีชคณิตกึ่งง่าย $B \subset G$ เป็นกลุ่มย่อย Borel และ $U \subset B$ เป็นรากศัพท์เดียวของ $B$. เราสามารถพิจารณาความหลากหลาย$G/U$. ให้เราแสดงด้วย$\overline{G/U}:=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[G/U])$. เป็นที่ทราบกันดีว่าการแปรสภาพตามธรรมชาติ$G/U \rightarrow \overline{G/U}$เป็นการฝังแบบเปิด ปล่อย$\partial{G/U}$ เป็นขอบเขตของ $G/U$ ข้างใน $\overline{G/U}$. สังเกตตอนนี้ว่า$\mathbb{C}[G/U]=\bigoplus_{\mu} V(\mu)$ซึ่งผลรวมจะไหลผ่านอักขระที่โดดเด่น $\mu$ ของ $G$ (เราแก้ไขพรูสูงสุดบางส่วน $T \subset B$, ที่นี่ $V(\mu)$ คือการแสดงที่ไม่สามารถวัดได้ของ $G$ ด้วยน้ำหนักสูงสุด $\mu$).
ข้อเรียกร้อง: อุดมคติของ $\partial{G/U} \subset \overline{G/U}$ ถูกสร้างขึ้นโดย $V(\mu)$ ด้วย $\mu$เป็นประจำ (เด่นอย่างเคร่งครัด) จะพิสูจน์คำกล่าวอ้างนี้ได้อย่างไร? อาจจะมีการอ้างอิง?
คำตอบ
นี่เป็นวิธีหนึ่งในการดูผ่านการจำแนกประเภท $G$- อุดมคติที่รุนแรงที่แตกต่างกัน (สิ่งนี้มีโบนัสที่อธิบายขอบเขตโดยปริยาย)
เลมม่า: $G$- อุดมคติที่หลากหลาย $I$ ของ $\mathbb{C}[G/U]$ อยู่ในการคาดคะเนกับชุดของน้ำหนัก $S$ ดังนั้นสำหรับ $\lambda\in S$ และ $\mu > \lambda$, $\mu\in S$. อุดมคติดังกล่าวเป็นสิ่งที่รุนแรงสำหรับทุกคน$\lambda\notin S,$ เรามี $n\lambda\notin S$ สำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด $n$.
หากต้องการดูสิ่งนี้โปรดทราบว่า $G$- ความแปรปรวนบอกคุณว่า $I$ ต้องแยกเป็นผลรวม $$\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in S}V(\lambda)$$ สำหรับบางชุด $S$. ตอนนี้ถ้า$\lambda\in S,$ แผนที่การคูณ $V(\mu-\lambda)\otimes V(\lambda)\rightarrow V(\mu)$ เป็นเรื่องที่คาดเดาได้และด้วยเหตุนี้ $\mu > \lambda$ ต้องอยู่ใน $S$.
คำแถลงเกี่ยวกับอุดมคติที่รุนแรงมีดังนี้
จากข้อความนี้คุณจะเห็นว่าค่าที่ไม่ใช่ศูนย์น้อยที่สุด $G$- อุดมคติที่แตกต่างกันอย่างรุนแรง (ซึ่งจำเป็นต้องตัดขอบเขตออกไป) สอดคล้องกับการรับ $S$ ชุดของน้ำหนักปกติทั้งหมด