อย่างน้อยหนึ่งกลุ่มย่อยของวัฏจักรที่กำหนดไว้อย่างดี $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$สำหรับนายก $p$.

Aug 17 2020

พิจารณาจำนวนเต็มของแบบฟอร์ม

$\quad pq + 1, \text{where 0 } \lt q \le p $

ชุดของคลาสตกค้างที่สอดคล้องกัน $\{[pq + 1]\}$ สร้างกลุ่มคำสั่งแบบวนรอบ $p$ ด้วยเครื่องกำเนิดไฟฟ้า $[p + 1]$.

ตัวอย่าง: ถ้า $p = 11$ แล้ว $12$ สร้างกลุ่มย่อยของคำสั่งซื้อแบบวนรอบ $11$ ใน $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$:

$\; {[12]}^1 \equiv \;\;\, 12 \pmod {121}$
$\; {[12]}^2 \equiv \;\;\, 23 \pmod {121}$
$\; {[12]}^3 \equiv \;\;\, 34 \pmod {121}$
$\; {[12]}^4 \equiv \;\;\, 45 \pmod {121}$
$\; {[12]}^5 \equiv \;\;\, 56 \pmod {121}$
$\; {[12]}^6 \equiv \;\;\, 67 \pmod {121}$
$\; {[12]}^7 \equiv \;\;\, 78 \pmod {121}$
$\; {[12]}^8 \equiv \;\;\,89 \pmod {121}$
$\; {[12]}^9 \equiv\; 100 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{10} \equiv 111 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{11} \equiv\;\;\;\, 1 \pmod {121}$

ฉันมีหลักฐานโดยตรงจากข้างต้นโดยใช้ทฤษฎีการแบ่งยุคลิด (การเป็นตัวแทน) แต่สนใจที่จะดูบทพิสูจน์อื่น ๆ (หรือลิงก์ / ข้อมูลอ้างอิง) นอกจากนี้ลิงก์วิกิพีเดีย

$\quad$ กลุ่มพหุคูณของจำนวนเต็มโมดูโล $n$

รัฐ

... แม้ว่าสำหรับนายก $n$ ไม่ทราบสูตรทั่วไปในการค้นหาเครื่องกำเนิดไฟฟ้า

ดังนั้นฉันจึงสนใจในความคืบหน้าบางส่วนที่เกิดขึ้นในพื้นที่นี้โดยกำหนดลำดับขององค์ประกอบใน ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$.

คำตอบ

CopyPasteIt Aug 23 2020 at 12:18

ที่นี่เรา 'สร้างรูปแบบ' กลุ่มวัฏจักรที่ใหญ่ขึ้น $K_{2p}$ ที่สร้างขึ้นโดย $[p-1]$ ใน $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ สำหรับ $p \ge 5$.

กลุ่ม $K_{2p}$ มี $2p$ องค์ประกอบ

ชุด $k = p-1$จำนวนเต็มคู่

กำหนดรายการตัวเลขโดยเริ่มต้นที่ $p-1$ และเพิ่มขึ้นโดย $2p$ ในขณะที่อยู่ด้านล่าง $p^2 - 1$,

$\quad G_1: p-1, p-1+2p, p-1+4p, \dots, p-1+(k-1)p$

ตอนนี้เพิ่ม $p$ ไปยังแต่ละหมายเลขเพื่อสร้างรายการที่สอง

$\quad G_2: 2p-1, 2p-1+2p, 2p-1+4p, \dots, 2p-1+kp$

$\text{[.]}_{\, p^2}$ ส่วนที่เหลือของชุดตัวเลขใน $G_1 \cup G_2$ ตรงกับไฟล์ $k$ เครื่องกำเนิดไฟฟ้าสำหรับ $K_{2p}$ มีคำสั่งซื้อ $2p$.

ดำเนินการต่อเราจะกำหนดรายการตัวเลขอื่นโดยเริ่มต้นที่ $p+1$ และเพิ่มขึ้นโดย $2p$
(เทียบเท่าเพิ่ม $2$ ไปยังทุกหมายเลขใน $G_1 \cup G_2$),

$\quad H_1: p+1, p+1+2p, p+1+4p, \dots, p+1+(k-1)p$

ตอนนี้เพิ่ม $p$ ไปยังแต่ละหมายเลขเพื่อสร้างรายการที่สอง

$\quad H_2: 2p+1, 2p+1+2p, 2p+1+4p, \dots, 2p+1+(k-1)p$

$\text{[.]}_{\, p^2}$ ส่วนที่เหลือของชุดตัวเลขใน $H_1 \cup H_2$ ตรงกับไฟล์ $k$ องค์ประกอบใน $K_{2p}$ มีคำสั่งซื้อ $p$.

ตั้งแต่ $2p - 2k = 2$ มีสององค์ประกอบที่ยังคงต้องนำมาพิจารณา $K_{2p}$. แต่นั่นคือสององค์ประกอบ$\{[1],[p^2-1]\}$ น่าพอใจ $x^2 = 1$.

ตัวอย่าง: สำหรับ $p = 11$ ระบุกลุ่มย่อยที่เหมาะสม $K_{22}$ ของ $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$.