อย่างไร $\min\limits_{0<n<N} \{n\pi\}$ ปรับขนาดด้วย $N$ ( $\{\cdot\}$ หมายถึงส่วนที่เป็นเศษส่วน)
ปล่อย $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ (ฉันยินดีกับคำตอบสำหรับคำถามสำหรับตัวเลือกเฉพาะเช่น $\pi$). ตาม
สำหรับ $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$, ชุด $\{nx-\lfloor nx\rfloor: n\in \mathbb{N}\}$ มีความหนาแน่นสูง $[0,1)$,
ชุด $\{nx\}$ มีความหนาแน่นใน $[0,1]$, ที่ไหน $\{\cdot\}$คือส่วนที่เป็นเศษส่วน ด้วยประการฉะนี้$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\}$$ มาบรรจบกับ $0$ สำหรับ $N\rightarrow\infty$. มีข้อมูลอะไรที่ทราบเกี่ยวกับการปรับขนาดของซีรีส์นี้เช่น$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\} = \mathcal{O}\left(\frac{1}{\operatorname{ln}(N)}\right)$$
คำตอบ
โดยทั่วไปเราไม่สามารถพูดอะไรได้มากกว่านี้ $$m(N) = m_x(N) := \min_{0 < n < N}\: \lbrace nx\rbrace$$ กว่า $m(N) \to 0$. ในขณะที่ทุกอย่างไร้เหตุผล$x$ มีมากมายเหลือหลาย $N$ ด้วย $m(N) < \frac{1}{N}$สำหรับทุกฟังก์ชั่น $f \colon \mathbb{N} \to (0,+\infty)$ ด้วย $f(N) \to 0$ เราพบว่าไม่มีเหตุผล (มากมายนับไม่ถ้วน) $x$ ด้วย $$\limsup_{N \to +\infty} \frac{m_x(N)}{f(N)} = +\infty\,.$$ ในแง่ที่ว่า, $m_x$ สามารถมีแนวโน้มที่จะ $0$โดยพลการอย่างช้าๆ แต่พฤติกรรมทั่วไปก็เป็นเช่นนั้น$m_x(N)$ ไม่มีแนวโน้มที่จะ $0$ ช้ากว่ามาก $\frac{1}{N}$.
เข้าใจไหม $m$เราสามารถใช้การขยายเศษส่วนอย่างต่อเนื่อง (โดยเฉพาะการขยายเศษส่วนอย่างง่ายอย่างต่อเนื่อง) ของ$x$.
เนื่องจากเท่าที่ฉันทราบเราไม่ทราบมากนักเกี่ยวกับการขยายเศษส่วนอย่างต่อเนื่องของ $\pi$ (เรา "รู้" คำศัพท์หลายพันล้านคำแรก แต่ไม่เกิดอะไรขึ้นหลังจากนั้น) เราไม่สามารถ (ยัง) ออกกฎได้ว่า $m_{\pi}(N)$ มีแนวโน้มที่จะ $0$ ช้ามาก แต่เราคาดว่ามันจะไม่
ในทางกลับกันสำหรับทุกๆ $x$ ซึ่งการขยายตัวของเศษส่วนอย่างต่อเนื่องได้ จำกัด ผลหารบางส่วน (เรียกว่า "สัมประสิทธิ์" หรือ "เงื่อนไข" ในบทความวิกิพีเดีย) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการไม่ลงตัวกำลังสองทั้งหมด (สิ่งเหล่านี้มีเศษส่วนต่อเนื่องเป็นระยะ) เรามี $m_x(N) \asymp \frac{1}{N}$ดังนั้นสิ่งที่ต้องการ $m_{\sqrt{2}}$สามารถวิเคราะห์ได้ค่อนข้างดี การขยายเศษส่วนอย่างต่อเนื่องของ$e$ มีผลหารบางส่วนที่ไม่ถูกผูกไว้ แต่มีรูปแบบปกติที่เป็นที่รู้จักและเรามี $m_e(N) \in \mathcal{O}\bigl(\frac{\log N}{N}\bigr)$.
มาดูเศษส่วนต่อ (ง่ายๆ) กัน การสร้างดัชนีเริ่มต้นด้วย$0$, $k^{\text{th}}$ บรรจบกับความไร้เหตุผล $x$ ด้วยการขยายเศษส่วนอย่างต่อเนื่อง $[a_0, a_1, a_2, \dotsc]$ จะแสดงโดย $p_k/q_k$, $k^{\text{th}}$ ผลหารสมบูรณ์ $[a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, \dotsc]$ โดย $\alpha_k$.
ข้อสังเกตที่สำคัญประการแรกคือคอนเวอร์เจนต์มีขนาดเล็กและใหญ่กว่าสลับกัน $x$, เรามี $$x - \frac{p_k}{q_k} = (-1)^k\cdot \delta_k$$ ด้วย $0 < \delta_k < 1$. (เรามีขอบเขตบนที่ดีกว่ามากสำหรับ$\delta_k$แต่ที่นี่ฉันเกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์ของความแตกต่างเท่านั้น)
ข้อเท็จจริงที่สำคัญยิ่งกว่านั้นก็คือผู้ที่มาบรรจบกันให้การประมาณอย่างมีเหตุผลที่ดีที่สุด $x$ ในแง่ที่แข็งแกร่งมาก:
ปล่อย $k > 1$. จากนั้นสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด$q < q_{k+1}$ และจำนวนเต็มทั้งหมด $p$ เรามี $$\lvert qx - p\rvert \geqslant \lvert q_k x - p_k\rvert \tag{1}$$ ด้วยความเท่าเทียมกันถ้าและต่อเมื่อ $p = p_k$ และ $q = q_k$.
เรากำหนดจำนวนบวก $\varepsilon_k$ โดย $q_k x - p_k = (-1)^k\varepsilon_k$. จาก$(1)$ เป็นไปตามนั้น $$m(q_{2k} + 1) = m(q_{2k+1}) = \varepsilon_{2k}$$ เพื่อทุกสิ่ง $k \geqslant 1$. การเกิดซ้ำสำหรับคอนเวอร์เจนร่วมกับ$\alpha_k = a_k + \frac{1}{\alpha_{k+1}}$ ผลตอบแทน \begin{align} \varepsilon_k &= \lvert q_{k}x- p_{k}\rvert \\ &= \Biggl\lvert q_{k}\frac{\alpha_{k}p_{k-1} + p_{k-2}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} - p_{k}\Biggr\rvert \\ &= \frac{\bigl\lvert \alpha_{k}\bigl(p_{k-1}q_{k} - p_{k}q_{k-1}\bigr) + \bigl(p_{k-2}q_{k} - p_{k}q_{k-2}\bigr)\bigr\rvert}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{\alpha_{k} - a_{k}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}\bigl(q_{k} + \frac{q_{k-1}}{\alpha_{k+1}}\bigr)} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}q_{k} + q_{k-1}} \\ &= \frac{1}{a_{k+1}q_{k} + q_{k-1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &= \frac{1}{q_{k+1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &< \frac{1}{q_{k+1}}\,. \end{align} ดังนั้นเราจึงมี $$m_x(N) < \frac{1}{N}$$ อย่างน้อยสำหรับทุกคน $N$ เช่นนั้นมี $k \geqslant 1$ ด้วย $q_{2k} < N \leqslant q_{2k+1}$และแน่นอนว่ามีมากมายไม่สิ้นสุด (อย่างน้อยหนึ่งรายการสำหรับแต่ละรายการ $k$).
ในทางกลับกันระหว่าง $q_{2k+1}$ และ $q_{2k+2}$สิ่งเลวร้ายอาจเกิดขึ้นได้ อันดับแรกเราทราบว่าเรามีเสมอ$$\frac{1}{2q_{k+1}} < \varepsilon_k < \frac{1}{q_{k+1}}$$ และ $a_{k+2}q_{k+1} < q_{k+2} = a_{k+2}q_{k+1} + q_k < (a_{k+2} + 1)q_{k+1}$ สำหรับ $k \geqslant 1$. นอกจากนี้สำหรับ$1 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ เรามี $$\varepsilon_{2k} > (q_{2k} + rq_{2k+1})x - (p_{2k} + rp_{2k+1}) = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} \geqslant \varepsilon_{2k+2}\,.$$ เรามาดูกันว่าตัวส่วน $q_{2k} + rq_{2k+1}$ ให้ผล minima ใหม่สำหรับ $\{n x\}$ (จริงๆแล้วเรายังต้องพิจารณาอื่น ๆ ด้วย $q$ ระหว่าง $q_{2k+1}$ และ $q_{2k+2}$แต่การเขียนไฟล์ $q$ ในรูปแบบ $q_{2k} + rq_{2k+1} + s$ ด้วย $0 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ และ $0 \leqslant s < q_{2k+1}$ เราสามารถใช้ $(1)$ เพื่อดูว่า $\{q x\} > \varepsilon_{2k}$ เมื่อไหร่ $s \neq 0$) แต่ลดลงค่อนข้างช้า
ตอนนี้สมมติว่าผลหารบางส่วน $a_{2k+2}$ มีขนาดใหญ่มากและเลือก $r \approx \frac{a_{2k+2}}{2}$. แล้วสำหรับ$n = q_{2k} + rq_{2k+1}$ เรามี $$\{nx\} = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} = \varepsilon_{2k} - \frac{r}{a_{2k+2}}\bigl(\varepsilon_{2k} - \varepsilon_{2k+2}\bigr) \approx \frac{1}{2}\varepsilon_{2k} > \frac{1}{4q_{2k+1}}$$ และ $n > rq_{2k+1} > a_{2k+2}$ (ตั้งแต่ $q_{2k+1} > 2$ สำหรับ $k \geqslant 1$). ให้ใด ๆ$f \in o(1)$ และส่วนเริ่มต้น $[a_0, a_1, \dotsc, a_{2k+1}]$ ของเศษส่วนต่อเนื่องเราเลือกได้เสมอ $a_{2k+2}$ มีขนาดใหญ่มาก $$\frac{1}{4 q_{2k+1} f(a_{2k+2})} > e^{k^4}\,,$$ พูด.
ด้วยประการฉะนี้ $m_x$ สามารถมีแนวโน้มที่จะ $0$ อย่างช้าๆถ้าเศษส่วนต่อของ $x$ มีใบเสนอราคาบางส่วนที่จัดทำดัชนีคู่จำนวนมาก (ใบเสนอราคาบางส่วนที่จัดทำดัชนีคี่จะเข้าสู่ภาพหากคุณพิจารณา $\max \:\{nx\}$ หรือเทียบเท่า $\min \:(1 - \{nx\})$ แทนหรือนอกเหนือไปจาก $\min \: \{nx\}$).
อย่างไรก็ตามโดยปกติแล้วผลหารบางส่วนจะมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับตัวส่วนของคอนเวอร์เจนต์และถ้าเรามี $a_{k+1} \leqslant \varphi(q_k)$ สำหรับทุกคน (ใหญ่พอสมควร) $k$แล้วเราก็มี $$m_x(N) \in \mathcal{O}\biggl(\frac{\varphi(N)}{N}\biggr)\,.$$ สำหรับ $x$ ด้วยผลหารบางส่วนที่มีขอบเขตที่เราสามารถทำได้ $\varphi$ เป็นฟังก์ชันคงที่และสำหรับ $e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,\dotsc]$ เรามี $a_n \ll n$ ในขณะที่ $q_n \gg c^n$ สำหรับบางคน $c > 1$, เพราะอะไร $a_{k+1} \leqslant K\cdot \log q_k$.
สำหรับ $\pi = [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\dotsc]$ ผลหารบางส่วน $a_2 = 15$ และ $a_4 = 292$ มีขนาดค่อนข้างใหญ่สำหรับดัชนี แต่ไม่มากนักสำหรับตัวหาร $q_1 = 7$ และ $q_3 = 113$. ในบรรดากลุ่มแรก$20000$ผลหารบางส่วนมีขนาดใหญ่ไม่กี่ตัวแต่ค่อนข้างเป็นตัวหารที่ตรงกัน$q_k$อย่างไรก็ตามพวกมันมีขนาดเล็กมาก แน่นอนว่าเราไม่สามารถหาข้อสรุปใด ๆ จากสิ่งนั้นได้ แต่จนถึงขณะนี้ข้อมูลที่เรามีไม่ได้ระบุเช่นนั้น$m_{\pi}$ มีแนวโน้มที่จะ $0$ ช้า.