อย่างไร $\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$ ติดตามจากทฤษฎีบทคอนเวอร์เจนซ์เสียงเดียว?

Question

ในการวิเคราะห์จริงและซับซ้อนของ Rudin เขากล่าวว่าความเท่าเทียมกัน

$$\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$$

สำหรับ $a_{i,j} \ge 0$ ดังต่อไปนี้จากข้อสรุปของทฤษฎีบทคอนเวอร์เจนซ์แบบโมโนโทน (ผ่านการวัดการนับในชุดที่นับได้):

ถ้า $f_n: X \to [0, \infty]$ สามารถวัดผลได้และ $f = \sum f_n$แล้ว

$$\int_X f =\sum_{n=1}^\infty \int_X fn $$

อย่างไรก็ตามฉันมีช่วงเวลาที่ยากลำบากที่จะได้เห็นสิ่งนี้ ฉันเดาว่าคุณใช้ฟังก์ชันตัวบ่งชี้สำหรับแต่ละจุดในชุดที่นับได้ แต่ฉันไม่เห็นการปรับแต่งใด ๆ ที่ชัดเจนที่จะทำให้เป็นจริง ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชม

Answer 1

ปล่อย $X=\mathbb N$ และ $S$ เป็นชุดพลังงานของ $X$. ปล่อย$\mu$ เป็นหน่วยวัดการนับ $X$. [$\mu(E)$ คือจำนวนจุดของ $E$ ซึ่งจะนำไปสู่ $+\infty$ ถ้า $E$ คือชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด]

สำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ $g: X \to [0,\infty)$ เรามี $\int g d\mu= \sum\limits_{k=1}^{\infty} g(k)$.

ตอนนี้ใช้เวลา $f_n(j)=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}$. แล้ว$f_n$ เพิ่มขึ้นในฟังก์ชัน $f$ ที่กำหนดโดย $f(j)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$. ดังนั้น$\int f_n d\mu \to \int f d\mu$. สิ่งนี้ให้$\lim_n \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{\infty} a_{ij}=\lim_n \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}=\lim_n \int f_n d\mu=\int f d\mu=\sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$.