Constante de Feigenbaum

Mi último artículo fue una brevísima introducción a la teoría del Caos donde escribí principalmente sobre el efecto mariposa , que es el concepto del que parte la teoría del caos. Anteriormente había discutido sobre el gráfico de población en uno de mis artículos . Describí el gráfico como un fractal llamado "la higuera". También mencioné que los fractales eran parte de la teoría del caos. Entonces, ¿cómo el caos finalmente forma este gráfico?

Hay una constante realmente famosa que se menciona junto con otras constantes matemáticas famosas como π, sqrt{2}, e, i, etc. Yo, personalmente, nunca había oído hablar de ella antes, hasta hace poco. Esta constante se llama “ Constante de Feigenbaum ”, su valor es δ = 4.6692016……., lo que significa que es irracional como π o e. Hay dos constantes de Feigenbaum. El otro llamado está simbolizado como α, pero esa es otra historia de la que no hablaré en este artículo.

Alrededor de la década de 1970, un científico llamado Robert May , escribió un artículo en el que había escrito una ecuación que modelaba el crecimiento de la población. La ecuación es la siguiente:

En esto, x_(n+1) es la población del próximo año, x_n es la población actual y λ es la fecundidad. Esta ecuación es un mapa logístico o simplemente una función para el crecimiento de la población. Entonces, básicamente, usando esta ecuación, podemos predecir cuál será la población de una comunidad el próximo año. Dije que λ es como la fertilidad de la población. Entonces, si su valor es alto, hay alta reproducción, pero si es bajo, entonces hay baja reproducción. El valor de λ está entre 0 y 1, donde 0 significa que no hay reproducción y 1 significa reproducción completa.

Ahora, los científicos que estaban interesados ​​en el crecimiento de la población iteraron este gráfico para observar la variación de la población en el futuro. En el lado derecho o lado derecho de la ecuación dada, x_n es la vida, mientras que (1 — x_n) es la muerte.

Bueno. Ahora tomemos cualquier valor para x_1. Sea 0,5, es decir, que la población sea la mitad. Estoy tomando el valor de λ como 2.3.

Entonces, si calculamos la población de los siguientes años usando la ecuación, es decir, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10, x_11, será

0,575, 0,5621, 0,5661, 0,5649, 0,5653, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, respectivamente.

Puede observar que el valor se ha vuelto constante. En otras palabras, el crecimiento de la población se ha estabilizado. Esto se llama como el punto fijo en la iteración.

¿Qué pasa si cambiamos λ? Elijamos un λ que sea muy pequeño, entre 0 y 1. Digamos 0,65. Intuitivamente, es obvio lo que sucederá si la fertilidad es muy baja. Pero, sigamos calculando retener x_1 como 0.5. Como calculé x_2, x_3, x_4….. los siguientes son los valores que calculé.

0,1625, 0,0885, 0,0524, 0,0323, 0,0203, 0,0129, 0,0083, 0,0053, 0,0035, 0,0022, 0,0015, 0,0009, 0,0006, 0,0004, 0,0003, 0,0,002

La población está muerta.

¿Qué pasaría si tomo un valor de fertilidad más alto, digamos, 3.2?

Lo calculé nuevamente con x_1 como 0.5, después de muchas iteraciones, noté que los valores iban como,

0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304, 0.79946, 0.51304,….. La población es estable, pero estable en 2 valores.

Ahora tomaré un valor cuidadosamente elegido de λ, que es 3.5.

Con x_1 como 0.5, repasando nuevamente los cálculos, noté que los valores, después de muchas iteraciones, seguían como,

0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.38281, 0.82694, 0.50088, 0.87499, 0.4,08281, 0.38281, 5…

Esta vez, el valor es estable en 4 valores.

Ahora hagamos gráficos con todos los casos que vimos.

a) Cuando la población se estabilizó

b) Cuando murió la población

c) Cuando la población rebotó entre dos valores

d) Cuando la población rebotó entre cuatro valores

Ahora, con los resultados que tenemos, trazaremos un gráfico con λ en el eje x y la población en el eje y. Lo siguiente es lo que obtendrías:

Cuando λ = 3.2 teníamos dos valores que estaban iterando. Por lo tanto, notará que el gráfico se bifurca allí. 'Bifurcar' es solo una forma sofisticada de decir que el gráfico se bifurca. De manera similar, alrededor de 3,5, se bifurca nuevamente en cuatro. Esto continúa, pero a un ritmo mucho más rápido. El gráfico se bifurcaría aún más rápido, ahora, con cambios muy pequeños de λ mismo. Después de un tiempo, el gráfico muestra algo extraordinario a medida que avanzamos hacia la derecha. Pero, antes de eso, permítanme definir con qué había comenzado este artículo, la constante de Feigenbaum.

Como se muestra en el diagrama anterior, si tomo dos longitudes consecutivas cualesquiera de cada bifurcación del gráfico y encuentro su proporción, recibiría un valor irracional constante, 4.6692016…….

Esta es la constante de Feigenbaum. Está diciendo que la longitud de una bifurcación es 4.6692016……. veces más pequeño que el anterior. Feigenbaum descubrió que si toma cualquier ecuación cuadrática como la ecuación de población, puede crear un gráfico de duplicación de períodos simplemente jugando con los parámetros. Y, tomando la razón de las longitudes de dos bifurcaciones consecutivas, obtendrías el mismo número para cualquier ecuación cuadrática.

El siguiente es el destino del gráfico después de alrededor de λ = 3,59.

El gráfico se vuelve loco, o mejor dicho, caótico. Aunque este gráfico fue descubierto antes incluso de que se conociera la teoría del caos. Esta constante y gráfico se ha utilizado mucho durante su estudio. El caos es sensible a las condiciones iniciales que producen cambios masivos, como lo explica el efecto mariposa. De manera similar, aquí, un cambio muy pequeño en λ puede causar cambios locos en el gráfico. Junto con el efecto mariposa, este fue el comienzo de la teoría del caos.