Matemáticas Hiperconcisas B5: Transformaciones

La inversa de una función (f(x)) es la relación formada al cambiar las entradas y salidas. En un gráfico, este cambio refleja la función sobre la línea f(x) = x (x e y son números cualesquiera). Por ejemplo,

La inversa de una función que también es una función se representa como f ⁻¹(x) (el −1 no es un exponente , pero el 2 en f²(x) = (f(x))² ≠ f(x²) es , y f⁽²⁾(x) representa algo completamente diferente. ¿Mencioné que la notación convencional apesta?) Las funciones que no son uno a uno se pueden dividir en varias funciones (ramas) que son uno a uno (como x² cuando x ≥ 0 y x² cuando x < 0), por lo que la inversa de cada rama será una función.

Para aplicar una función (g(x)) a todos los valores de x en y = f(x) manteniendo los valores de y sin cambios, aísle x y aplique g(x) a un lado: x = f ⁻¹(y) → x = g(f ⁻¹(y)) → y = f(g ⁻¹(x))

Por ejemplo, algunas funciones pueden verse como transformaciones de otras más simples:

Cambiar las variables en un problema a menudo proporciona una nueva perspectiva, al permitirle utilizar transformaciones (z = g(x), y = f(g ⁻¹(z))) o trabajar con ecuaciones más simples sin cambiar los valores originales. Por ejemplo, si z = y/x y w = y − 5⦁x, y⦁x² − 5⦁x³ = y²⦁x² + x² puede escribirse como w = z² + 1 (aplicar /x² y sustituir), analizado con facilidad relativa, luego volvió a cambiar después. (De las ecuaciones para w y z, y = z⦁x y y = w + 5⦁x → x = w/(z − 5) y y = w + 5⦁w/( z - 5).)