2 questions sur la bague$\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$
Je suis incapable de résoudre cette question particulière dans Ring Theory. Cela a été demandé lors d'un examen de maîtrise pour lequel je me prépare.
Laisser$A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$.
(a) Prouver que$A$est le produit direct de deux domaines intégraux.
(b) La bague est-elle$A$isomorphe à$\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$?
je peux savoir par$X^{3}-1$que maintenant les éléments seraient$ax^2+bx+c$,$a,b,c$appartenir à$\mathbb{Q}$. Mais je n'ai aucune idée des produits directs dont le domaine intégral fera cet anneau.
Aussi pour le 2e, j'ai des problèmes pour définir une carte comme$X^3$agira comme -1 dans la 2ème sonnerie. Je ne pense pas que la carte ressemble$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$fonctionnerait car cette carte n'est pas$1-1$.
Donc, quelqu'un peut-il s'il vous plaît dire comment dois-je aborder ces deux problèmes.
Réponses
ASTUCE :
(a) Utilisez le théorème du reste chinois , qui dit que pour un anneau$A$et idéaux$\mathfrak a,\mathfrak b$de$A$tel que$\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$,$A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$. De plus, un anneau quotient$\mathbb Q[X]/(f(X))$est un domaine intègre ssi$(f(X))$est un idéal premier ssi$f(X)$est irréductible (puisque$\mathbb Q[X]$est un PID).
(b) Je prétends$\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$est un isomorphisme. Vérifiez tous les axiomes.
(a) Comme Kenta S l'a dit, puisque$1=(x^2-x+1)+x(x-1)$et$(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$, Nous avons$\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$et donc$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$par le théorème des restes chinois. Clairement,$x^2-x+1$et$x-1$sont irréductibles. Ainsi,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$et$\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$sont des domaines.
(b) De toute évidence,$\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$. Aussi,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$par$x\to -x$. Ainsi,$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$.