Afficher l'attente du minimum de la martingale arrêtée est $-\infty$

Question

Considérez la martingale à marche aléatoire $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ où $X_k$ sont uniformément bornés, iid avec $E(X_1)=0,E(X_1^2)=\sigma^2>0$. Laisser$a>0$ Et mettre $T=\inf\{n:S_n\geq a\}$. Montre CA$E(\min_n S_{n\wedge T})=-\infty$.

Je pensais définir $T(k)=\inf\{n:S_n\leq -k\}$ et en utilisant la martingale $S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2-(n\wedge T\wedge T(k))\sigma^2$. Nous obtiendrons alors (en utilisant MCT et boundedness et$S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2$) $E(S^2_{T\wedge T(k)})=\sigma^2(T\wedge T(k))$. Cela implique$b^2P(T<T(k))+k^2P(T>T(k))=\sigma^2 E(T\wedge T(k))$. Je ne sais pas comment procéder à partir d’ici.

Answer 1

Que dis-tu de ça?

Pour toute $N < \infty$, par le théorème d'échantillonnage optionnel, on a $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N}) = 0$. Et$E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)}) = E(S_{T \wedge N} I_{T < T(k)}) \ge a P(T < T(k) \wedge N) \to a$ comme $N, k \to \infty$.

Alors $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}) = - E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)})$ converge vers un nombre négatif lorsque $N,k \to \infty$.

Laisser $U = \min_n S_{n \wedge T}$. Maintenant$U I_{U < -k} \le S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}$. Si$E(U) > -\infty$, puis $E(U I_{U < -k}) \to 0$ comme $k \to \infty$, ce qui est une contradiction.