Afficher un espace vectoriel normé est la somme directe d'un sous-espace fermé et d'un sous-espace unidimensionnel.

Aug 18 2020

Vous trouverez ci-dessous l'exercice 7 des espaces du chaper IV Banach dans l'analyse réelle et fonctionnelle de Lang:

Laisser $F$ être un sous-espace fermé d'un espace vectoriel normé $E$, et laissez $v\in E, v\notin F$. Montre CA$F+ \Bbb{R}v$est fermé. Si$E=F+ \Bbb{R}v$, montre CA $E$ est la somme directe de $F$ et $\Bbb Rv$ (signifiant la carte $\phi(f,rv)= f+rv$ est un isomorphisme supérieur de $F\times \Bbb Rv$ à $E$, c'est-à-dire un homéomorphisme et un isomorphisme).

Je peux prouver $F+ \Bbb{R}v$ se ferme en regardant l'espace quotient $E/F$. Comme l'image de$F+ \Bbb{R}v$ sous la carte des quotients $\rho$ est homéomorphe à $\Bbb R$, il est automatiquement fermé dans $E/F$, dont l'image inverse est fermée en $E$ par continuité de $\rho$. Mais$\rho^{-1}(\rho(F+ \Bbb{R}v))=F+ \Bbb{R}v$, prouvant ainsi la proximité de $F+ \Bbb{R}v$. Mais je suis coincé à montrer cette dernière déclaration. Il suffit de montrer que$\phi$ est une carte ouverte, ce qui revient à montrer $U_1+U_2$ est ouvert si $U_1$ et $U_2$ sont des sous-ensembles ouverts de $F$ et $\Bbb Rv$, respectivement. Lang mentionne que c'est une conséquence facile du théorème de mappage ouvert, qui est un résultat plus général. Cependant, cela ne suppose-t-il pas l'exhaustivité de$E$? J'essaie d'utiliser la technique de l'espace quotient, mais cela ne semble pas s'appliquer ici car$U_1+U_2$ne doit pas être saturé. Comment dois-je procéder? Merci d'avance.

Réponses

3 Chrystomath Aug 18 2020 at 14:32

Laisser $\phi:F\times\mathbb{R}v\to E$ être défini par $\phi(f,rv):=f+rv$.

Elle est continue car c'est la composition de l'addition et de la multiplication scalaire. C'est clairement linéaire. C'est sur par hypothèse, et un-un puisque$v\notin F$: $$f_1+r_1v=f_2+r_2v\implies f_1-f_2=(r_2-r_1)v$$

Par conséquent $\phi$ est inversible et ce qui reste à montrer est $f+rv\mapsto(f,rv)$ est continue.

Par le théorème de Hahn-Banach, puisque $F$ est fermé, il y a une fonction continue $\psi$ de la norme unitaire telle que $\psi F=0$ mais $\psi(v)=t\ne0$. Laisser$\pi(f+rv):=\psi(f+rv)v/t=rv$. ensuite$\pi$ est une projection continue avec image $\mathbb{R}v$ et noyau $F$, C'est \begin{align*}\|rv\|&=\|\pi(f+rv)\|\le c\|f+rv\|\qquad(c=\|\psi\|\|v\|/t)\\ \|f\|&\le\|f+rv\|+\|rv\|\le(1+c)\|f+rv\|\end{align*} Il s'ensuit que $E=F\oplus\mathbb{R}v$.