Aide à comprendre la formule de variance alternative
La définition de la variance avec laquelle je suis à l'aise est
$$\Sigma_s{(x_i -\bar{x})(y_i -\bar{y})p(x_i,y_i)}$$
Mais j'en ai vu un qui ressemble à ça et j'ai du mal à voir en quoi ils sont équivalents.
$$\Sigma_x \Sigma_y (x+y)^2 P_{XY}-(E(x+y))^2$$ la source
Réponses
Le premier élément que vous avez énuméré est la covariance de$x_i$et$y_i$. La deuxième formule que vous avez énumérée est la variance de$x+y$(c'est à dire$Var(x+y)$).
Pour voir cela, notez que nous pouvons écrire$Cov(X,Y)$comme:
\begin{eqnarray*} {Cov(X,Y)} & = & E(XY)-E(X)(EY)\\ & = & \sum x_{i}y_{i}p_{XY}(x_ {i},y_{i})-\somme x_{i}p(x_{i},y_{i})\somme y_{i}p_{XY}(x_{i},y_{i})\ \ & = & p_{XY}(x_{i},y_{i})\left(\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}\right)\\ & = & \sum(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})p_{XY}(x_{i}y_{i}) \end{eqnarray*}
La deuxième formule que vous avez répertoriée est dérivée de la source à laquelle vous avez créé un lien hypertexte dans la section Variance.
Les deux formules ne sont pas équivalentes.