Aide à la preuve d'une conséquence à partir des axiomes d'addition et de multiplication

Question

En lisant l'analyse 1 de Vladimir A. Zorich, j'ai rencontré cette preuve qui comporte cette étape que je ne comprends pas. Voici la conséquence et la preuve:

Pour chaque $x\in \mathbb R$ ce qui suit est vrai

$$-x=(-1)\cdot x$$

Preuve. $\ \ x+(-1)\cdot x=\underbrace{(1+(-1))\cdot x}_\text{Which of the axioms were used here ?}= 0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$. L'hypothèse découle de l'unicité du négatif d'un nombre.

Fin de preuve.

La partie soutenue est ce que je ne comprends pas. Quels axiomes d'addition et de multiplication ont été utilisés pour créer cette expression?

Answer 1

Notez que $1\in\Bbb{R}$ est un élément spécial de l'ensemble avec la propriété que pour chaque $x\in \Bbb{R}$, $1\cdot x = x\cdot 1 = x$. Ensuite, nous utilisons également la loi distributive qui pour tous$a,b,c\in\Bbb{R}$, $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c$. Par conséquent, \ begin {align} x + (-1) \ cdot x & = 1 \ cdot x + (-1) \ cdot x \ tag {propriété de$1$} \\ & = [1 + (-1)] \ cdot x \ tag {loi distributive} \ end {align} Le reste de la preuve suit une fois que vous avez établi que pour chaque$x\in\Bbb{R}$, $0\cdot x = 0$.

Answer 2

le principal est la distribution: $a(b+c) = ab + ac$.

Donc la preuve va comme ceci:

$x + (-1)x = 1\cdot x + (-1)\cdot x$ (par existence et définition d'identité multiplicative)

$=(1+(-1))\cdot x$ (par distribution)

$=0\cdot x$ (par définition de l'inverse additif)

$=x\cdot 0$ (commutivité de la multiplication mais je n'ai aucune idée pourquoi il a fait ça)

$= 0$(Ce n'est pas un axiome mais une proposition peut être prouvée que$0\cdot x = 0$. L'avez-vous déjà prouvé? Spivak utilise-t-il cela comme un axiome?)

Ensuite, par définition, nous avons cela pour chaque $x$ il existe un unique $-(x)$ pour que $x + (-x) = 0$.

Si jamais nous avons un $a$ pour que $x + a = 0$ ça doit être ça $a=-x$car l'inverse multiplicatif est unique. Comme$x + (-1)x =0$ ce doit être $(-1)x = -x$.

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Soutenir: $x\cdot 0 = 0$.

Pf: $x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$. (Chaque élément$a$, comprenant $x\cdot 0$, a un inverse additif, $-a$, pour que $a + (-a) =0$.)

$x\cdot(0 + 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ ($0=0+0$ car $0$ est l'identité additive et $a +0 = a$ pour tous $a$, y compris quand $a$ est $0$.)

$(x\cdot 0 + x\cdot 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ (distributivité)

$x\cdot 0 + (x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$ (associativité)

$x\cdot 0 + 0 = 0$ (définition de l'identité additive)

$x\cdot 0 = 0 $ ($a + 0= a$ pour tous $a$ par définition d'identité additive.)