Aire totale de cercles infinis imbriqués dans un triangle équilatéral.
Étant donné que le rayon du plus grand cercle est 1, quelle est la surface totale des cercles infinis dans l'image ci-dessus ?
Je sais comment résoudre une partie du problème, en suivant les étapes de ce site .
Mais le problème, ce sont les cercles restants. J'ai essayé de faire de l'algèbre en utilisant un cas particulier (où l'un des cercles est une ligne) du théorème de Descarte , mais je n'ai trouvé aucun modèle pour écrire une série et ensuite trouver la somme.
Comment puis-je trouver l'aire des cercles restants, indiqués en rouge dans l'image ci-dessous ?
Réponses
Selon la théorie des cercles de Ford , les cercles touchants satisfont$$\frac{1}{\sqrt{r_M}}=\frac{1}{\sqrt{r_L}}+\frac{1}{\sqrt{r_R}}$$
Dans le cas du problème donné, chaque cercle touche deux cercles uniques plus grands. Si l'on se concentre sur une seule branche de l'ensemble (un tiers des cercles), le cercle central a pour rayon$1$et le prochain plus grand cercle a un rayon$1/3$par similitude. Leur cercle qui se touche a un rayon$1/(1+\sqrt3)^2$par la formule ci-dessus.
Chaque cercle peut être représenté par une paire d'entiers$(m,n)$qui est la somme des indices de ses parents et a un rayon$r_{n,m}$donné par$\frac{1}{(m+n\sqrt{3})^2}$, en utilisant la formule ci-dessus. Le schéma suivant représente une seule famille de cercles générés par le plus grand$(1,0)$et le deuxième plus grand$(0,1)$. Chaque sommet de l'arbre représente un espace entre les cercles et chaque arête représente la tangente touchant deux cercles.
$\hspace{2cm}$
La famille suivante à gauche est générée par$(0,1)$et$(3,0)$car chaque cercle, de centre sur la ligne allant du centre du triangle au sommet gauche, a un rayon$1/3^n$(représenté par$(3^{n/2},0)$ou$(0,3^{(n-1)/2})$).
Tabulation$1/\sqrt{r_{n,m}}$pour la première famille de cercles donne :
Famille 1 :$$\begin{matrix} 1\\ 1+\sqrt3\\ 1+2\sqrt3&2+\sqrt3\\ 1+3\sqrt3&2+3\sqrt3&3+2\sqrt3&3+\sqrt3\\ \cdots\end{matrix} $$
Voici un script Mathematica pour générer ces paires :
level[n_] := level[n] = Riffle[level[n - 1], Most@level[n - 1] + Rest@level[n - 1]]
level[1]={{1,0},{0,1}}
sum[n_] := Plus @@ ((1/(#[[1]] + #[[2]] Sqrt[3.])^4) & /@ level[n])
area1 = Pi(sum[25] - 1)
(Le cercle central est soustrait.)
Une valeur numérique pour l'aire de la première famille est$A_1\approx0.4550$.
Les autres familles sont similaires à la première famille car elles en sont des versions à l'échelle. Par exemple, la deuxième famille est générée par$(3,0)$et$(0,1)$, est donc un tiers de la famille un en taille (et neuvième en superficie).
Ainsi, la superficie totale d'une branche est$B=A_1(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9^2}+\cdots)=\frac{9}{8}A_1\approx0.5119$.
La réponse requise pour la superficie totale est$3B+\pi$, en ajoutant le cercle central. Une approximation numérique de cette zone est$4.68$, qui est juste au-dessus$90\%$de tout le triangle.